Sistem exponential

[Marius Mainea]

Rezolvati sistemul:

\( \left\{x+\sqrt{2^y-1}=2\\y+\sqrt{2^x-1}=2 \)

[Beniamin Bogosel]

Se observa ca \( x,y \in [0,2] \). Definesc \( g:[0,2] \to [2-\sqrt{3},2],\ g(x)=2-\sqrt{2^x-1} \) care e strict descrescatoare, adica injectiva, si surjectiva (demonstrati...).

Se observa ca \( g(x)=y \) si \( g(y)=x \). Atunci \( g \circ g (x)=x \) si \( g\circ g(y)=y \). Deci \( x,y \) sunt solutii ale ecuatiei \( g(z)=g^{-1}(z) \). Deoarece graficul functiei si graficul inversei se pot intersecta doar pe prima bisectoare e suficient sa rezolvam ecuatia \( g(x)=x \). Adica \( 2=x+\sqrt{2^x-1} \). Membrul drept este o functie strict crescatoare si 1 este solutie, deci aceasta este unica. Deci \( x=y=1 \).

[Marius Mainea]

Deoarece graficul functiei si graficul inversei se pot intersecta doar pe prima bisectoare

Nu e adevarata afirmatia.

Functia \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) \( f(x)=-x \) este inversabila si \( f^{-1}=f \) , graficele celor doua functii coincid si au in comun punctele A(x,-x) care nu sunt toate pe prima bisectoare.

Deasemenea \( f:[-1,1]\rightarrow[-1,1] , f(x)=\left{\begin{array}{cc}x^2,x\in[-1,0]\\-x^2,x\in[0,1]\end{array} \) se intersecteaza cu \( f^{-1}(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{-x},x\in[-1,0]\\-\sqrt{x},x\in[0,1]\end{array} \) in A(-1,1) , B(0,0) si C(1,-1)

[Marius Perianu]

Deoarece graficul functiei si graficul inversei se pot intersecta doar pe prima bisectoare e suficient sa rezolvam ecuatia \( g(x)=x \).

Nu e adevarat in general: pentru \( f(x)=\frac{1}{x} \) avem \( f(x)=f^{-1}(x) \) pentru orice \( x \) nenul. Analog pentru \( f(x)=1-x \), deci \( G_f \) si \( G_{f^{-1}} \) se pot "intersecta" si in alta parte decat pe prima bisectoare.

De fapt, proprietatea pe care o citezi spune ca daca un punct \( M(a,b) \) se afla pe graficul unei functii, atunci simetricul sau fata de prima bisectoare - punctul \( N(b,a) \) - se afla pe graficul inversei, adica \( G_f \) si \( G_{f^{-1}} \) sunt simetrice fata de prima bisectoare. Nu rezulta de aici ca intersectia lor este submultime a punctelor aflate pe prima bisectoare. Eventual, poti spune ca daca un punct de pe prima bisectoare se gaseste pe graficul functiei, atunci se afla si pe graficul inversei. Mai mult, din faptul ca \( M(a,b)\in G_f \cap G_{f^{-1}} \), rezulta exact faptul ca \( (f\circ f)(a)=a \) si \( (f^{-1}\circ f^{-1})(b)=b \).

[Beniamin Bogosel]

Deci iarasi am gresit...

Acuma sper sa o nimeresc. Deoarece \( g(x)=y, g(y)=x \) putem considera \( g:[2-\sqrt{3},2]\to [2-\sqrt{3},2] \). Daca derivam functia obtinem \( |g^\prime(x)|=\frac{2^{x-1}\log 2}{\sqrt{2^x-1}} \), care este subunitara pentru \( x \in [2-\sqrt{3},2] \). Astfel \( g \) este o contractie, si prin urmare \( g\circ g \) are un unic punct fix. Acesta este 1.

Poate ca se poate demonstra ca \( g \) este o contractie si fara derivate... o sa incerc.