Limita de sir recurent

[turcas]

Fie \( (a_n)_{n \geq 0} \) dat astfel: \( a_0=1 \), \( a_{n+1}=\sqrt[4]{14+a_n}, n \in \mathbb{N} \). Sa se calculeze \( \lim_{n \to \infty}{a_n} \).

Subiectul IV, Etapa locala, 24 Ianuarie 2009, clasa a XI-a

[Andrei Ciupan]

Mai intai demonstram prin inductie triviala ca \( a_n<2 \), de unde avem \( \sqrt[4]{a_n+14}>a_n \), deci sirul \( (a_n) \) este crescator, deci are limita finita \( l \) (caci \( (a_n) \) este marginit), si avem \( l^4=l+14 \), de unde \( l=2 \).