Cerc si arii

[Ahiles]

Fie A un punct in exteriorul cercului, iar B si C doua puncte de pe acest cerc. Punctele M si N apartin cercului, astfel incit MN trece prin mijlocul segmentului BC si triunghiul AMN este isoscel. Sa se arate ca [AMN]\( \ge \)[ABC], unde [DEF] reprezinta aria triunghiului DEF.

[Virgil Nicula]

Daca \( X \) este mijlocul segmentului \( [BC] \), atunci \( BC\le MN \) si \( \delta_{BC}(A)\ \le\ \delta_{MN}(A)\ . \)
Deci \( [BAC]=\frac 12\cdot BC\cdot \delta_{BC}(A)\le \frac 12\cdot MN\cdot\delta_{MN}(A)= [MAN]\ . \)