Etapa locala Caras-Severin 2008

[elena_romina]

Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia:
\( 2^{[x]}+2^{\{x\}}=2^{x+1} \).

Eu am aplicat inegalitatea mediilor:
\( 2^{[x]}+2^{\{x\}}\geq 2\sqrt{2^{[x]+\{x\}} \).
Dar \( 2^{[x]}+2^{\{x\}}=2^{x+1} \), rezulta ca
\( 2^{x+1}\geq 2\cdot {2^{\frac{x}{2}} \)
\( x \geq\frac {x}{2} \)
\( 2x\geq x=>2x-x\geq0=>x\geq0 \)
Asta inseamna ca ecuatia are ca solutie orice x\( \geq0 \)?
Dar 0 este solutie a ecuatiei, in timp ce 1 sau 2 nu sunt solutii.
Unde am gresit?

[Beniamin Bogosel]

Daca notezi \( a=2^{[x]} \) si \( b=2^{\{x\}} \) atunci din relatia din enunt ai \( a+b=2ab \). Adica \( 4ab-2a-2b+1=1 \Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=1 \). Si de aici stii sa o faci si singura

\( 2b-1>0 \rightarrow 2a-1>0 \). Pentru \( k \geq 0 \) avem
Daca \( [x]=k \Rightarrow 2^{\{x\}+1}-1=\frac{1}{2^{k+1}-1} \), adica \( \{x\}=\log_2 \ \frac{2^{k+1}}{2^{k+1}-1}-1 \) care e negativ pentru \( k\neq 0 \) si 0 pentru \( k=0 \). Deci \( x=0 \) e unica solutie.

[elena_romina]

Multumesc! Dar metoda mea de ce nu functioneaza? Gresesc undeva?

[Beniamin Bogosel]

pai la tine toate numerele pozitive verifica inegalitatea. Asta nu inseamna ca toate numerele pozitive verifica si egalitatea.

[elena_romina]

Da, gata, am inteles . Multumesc mult!