Daca \( a,b,c\ge 0 \) sa se arate ca :
\( (\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2})(ab+bc+ca)\ge \frac{9}{4} \)
Iran 1996
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
maxim bogdan
- Thales
- Posts: 106
- Joined: Tue Aug 19, 2008 1:56 pm
- Location: Botosani
Dupa aducerea la acelasi numitor si desfacerea parantezelor se obtine inegalitatea echivalenta:
\( (\displaystyle\sum_{sym}x^5 y-\displaystyle\sum_{sym}x^4 y^2)+3(\displaystyle\sum_{sym}x^5 y-\displaystyle\sum_{sym}x^3 y^3)+2xyz(3xyz+\displaystyle\sum_{cyc}x^3-\displaystyle\sum_{sym}x^2 y)\geq 0. \)
Din inegalitatea lui Muirhead si inegalitatea lui Schur rezulta imediat ca inegalitatea noastra e adevarata fiind suma a trei termeni pozitivi. \( \box \)
\( (\displaystyle\sum_{sym}x^5 y-\displaystyle\sum_{sym}x^4 y^2)+3(\displaystyle\sum_{sym}x^5 y-\displaystyle\sum_{sym}x^3 y^3)+2xyz(3xyz+\displaystyle\sum_{cyc}x^3-\displaystyle\sum_{sym}x^2 y)\geq 0. \)
Din inegalitatea lui Muirhead si inegalitatea lui Schur rezulta imediat ca inegalitatea noastra e adevarata fiind suma a trei termeni pozitivi. \( \box \)
Feuerbach
A se vedea http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=3547 si link-urile aferente...
E prea cunoscuta inegalitatea
E prea cunoscuta inegalitatea
Bogdan Enescu