Geometrie

[elena_romina]

Fie \( ABCD \) un trapez. Pe laturile neparalele se construiesc patratele \( BEFC \), \( AGHD \). Fie \( M \) mijlocul lui \( HF \) si \( N \) mijlocul lui \( CD \). Sa se arate ca \( MN\perp CD. \)

As dori o solutie sintetica sau cu vectori, deoarece cu numere complexe am demonstrat.
Multumesc

[Virgil Nicula]

Fie trapezul \( ABCD \) , \( AB\ \parallel\ CD\ . \) Construim in exterior pe \( [BC] \), \( [AD] \) patratele \( BEFC \) , \( AGHD \). Fie mijlocul \( M \) al lui \( [HF] \) si mijlocul \( N \) al lui \( [CD] \). Sa se arate ca \( MN\perp CD\ . \)

Demonstratie (sintetica). Presupunem fara a restrange generalitatea \( CD\ <\ AB\ . \) Notam proiectiile \( X \) , \( Y \) ale punctelor \( H \) , \( F \) respectiv pe dreapta \( CD\ . \) Se arata usor ca \( XYFH \) este trapez dreptunghic si \( DX=CY=h \) - inaltimea acestuia. Asadar punctul \( M \) este si mijlocul lui \( [XY] \) , mai exact \( [MN] \) este linie mijlocie in trapezul dreptunghic \( XYFH\ . \) In concluzie, \( MN\perp CD\ . \)

As dori o solutie sintetica sau cu vectori, deoarece cu numere complexe am demonstrat. Multumesc.

Daca doresti o solutie sintetica sau cu vectori, atunci ofera si tu ceva, de exemplu
solutia cu numere complexe, mai ales ca ai afirmat ca ai rezolvat problema cu numere complexe.
Ar fi bine ca pe acest site sa domine dublul sens, si nu sensul unic, "unii cer si altii ofera".

[elena_romina]

Aceasta este o demonstratie cu numere complexe:
Consideram A(a), B(b), C(c) etc.
Pentru a demonstra ca \( MN\perp DC \) trebuie sa demonstram ca \( \frac{m-n}{c-n}=r \cdot i \), unde \( r\in R \)
\( m=\frac{h+f}{2}, n=\frac{c+d}{2} \) deoarece M este mijlocul lui HF, iar N mijlocul lui CD.
Aducem un sistm de axe in D. Din faptul ca \( AD\perp HD \) obtinem
\( arg(h-d)-arg(a-d)=\frac{\pi}{2} \)
\( arg\frac{h-d}{a-d}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \frac{h-d}{a-d}=cos(\frac{\pi}{2})+i sin(\frac{\pi}{2})\Rightarrow \frac{h-d}{a-d}=i \Rightarrow h=d+(a+d)i \)
Aducem alt sistem de axe in C si analog, obtinem ca \( \frac{b-c}{f-c}=i\Rightarrow \frac{f-c}{b-c}=\frac{1}{i}=\frac{-i^2}{i}=-i\Rightarrow f=c-i(b-c) \)
\( \frac{m-n}{c-n}=\frac{\frac{h+f}{2}-\frac{c+d}{2}}{c-\frac{c+d}{2}}=\frac{i(a-d-b+c)}{c-d} \)
Acum trebuie sa demonstram ca \( \frac{a-d-b+c}{c-d}\in R \)
Din faptul ca ABCD este trapez obtinem ca: \( arg(d-c)=arg(a-b)\Rightarrow arg(d-c)-arg(a-b)=0\Rightarrow arg\frac{d-c}{a-b}=0 \Rightarrow \frac{d-c}{a-b}=r(\cos 0+i\sin 0)=r \Rightarrow d-c=r(a-b) \)
Rezulta ca \( \frac{a-d-b+c}{c-d}=\frac{(a-b)-r(a-b)}{-r(a-b)}=\frac{(a-b)(1-r)}{-r(a-b)}=\frac{1-r}{-r} \in R\Rightarrow MN\perp CD. \) \( \qed \)

[Virgil Nicula]

Comentariu.

\( \odot\ \ \)Foarte frumos, Elena_romina ! Insa dupa parerea mea utilizarea "arg" - ului ingreuneaza redactarea. Sa presupunem

ca avem un unghi \( \angle XAY \) a carui masura in sens trigonometric de la semidreapta \( [AX \) catre semidreapta \( [AY \)

este \( \phi\in \left[0,2\pi\right)\ . \) Notam \( \omega=\cos\phi+i\cdot\sin\phi\ . \) Atunci caracterizarea acestei configuratii este \( \underline{\overline{\left\|\ y-a=\frac {|y-a|}{|x-a|}\cdot \omega\cdot (x-a)\ \right\|}}\ . \)

\( \odot\ \ \)Rezolvarea unei probleme, chiar daca autorul ei nu cere, cred ca ar trebui "dusa pana la capat" prin obtinerea

unor rezultate care intr-un fel sa "epuizeze subiectul", incercand chiar, daca este posibil, anumite extinderi.

Iti ofer un exemplu, chiar aceasta problema. Daca am lua in considerare si mijloacele \( S \) , \( P \) ale segmentelor

\( [AB] \) , \( [EG] \) respectiv si carora le-am aplica acelasi rezultat, vom obtine un rezultat interesant. Iata-l mai jos.

Fie trapezul \( ABCD \) , \( AB\ \parallel\ CD\ . \) Construim in exterior pe \( [BC] \), \( [AD] \) patratele \( BEFC \) , \( AGHD \).

Fie mijloacele \( M \) , \( N \) , \( P \) , \( S \) ale segmentelor \( [HF] \) , \( [CD] \) , \( [GE] \) , \( [AB] \) respectiv. Sa se arate ca

patrulaterul \( MNSP \) este paralelogram , mai exact \( MN\ \parallel\ PS\ \perp\ AB \) si \( MN=PS=\frac 12\cdot |AB-CD|\ . \)

Demonstratie (cu numere complexe). \( AB\ \parallel\ CD\ \Longleftrightarrow\ \)exista \( \lambda\ >\ 0 \) astfel incat \( d-c=\lambda\cdot (a-b)\ \ (*)\ , \) unde

semnificatia sintetica a lui \( \lambda \) este \( \lambda =\frac {CD}{AB}\ . \) Asadar, \( \left|\ \begin{array}{c}
2n=c+d\\\\\\
2s=a+b\end{array}\ \right| \) , \( \left|\ \begin{array}{c}
g=a+(d-a)\cdot i\\\\\\
f=c+(b-c)\cdot i\end{array}\ \right| \) si \( \left|\ \begin{array}{c}
h=d-(a-d)\cdot i\\\\\\
e=b-(c-b)\cdot i\end{array}\ \right|\ . \)

Prin urmare, \( \left|\ \begin{array}{ccccc}
2m & = & h+f & = & (c+d)+(b-c+d-a)\cdot i\\\\\\
2p & = & g+e & =& (a+b)+(d-a+b-c)\cdot i\end{array}\ \right|\ \stackrel {(*)}{\Longrightarrow}\ \left|\ \begin{array}{ccc}
2m & = & 2n+(\lambda -1)(a-b)\cdot i\\\\\\
2p & = & 2s+(\lambda -1)(a-b)\cdot i\end{array}\ \right|\ \Longrightarrow\ \)

\( 2(m-n)=2(p-s)=(\lambda -1)(a-b)\cdot i\ \Longrightarrow\ \begin{array}{c}
MN=PS=\frac 12\cdot |AB-CD|\\\\\\
MN\ \parallel\ PS\ \perp\ AB\end{array}\ . \)

[elena_romina]

Va multumesc mult, domnule Virgil Nicula, si pentru cea de-a doua problema!