Fie paralelipipedul dreptunghic \( ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \), iar \( M,N \) picioarele perpendicularelor coborate din \( D^{\prime} \), respectiv \( B \) pe \( B^{\prime}D \).
a) Demonstrati ca patrulaterul \( BND^{\prime}M \) este paralelogram;
b) Demonstrati ca \( MN=\frac{1}{3}B^{\prime}D \) daca si numai daca \( CC^{\prime2}=2\left(AB^{2}+BC^{2}\right) \).
OLM Dambovita 2009, problema 4
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
OLM Dambovita 2009, problema 4
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
a) Evident.
b) Notam Ab=a ,BC=b , CC'=c
1) Daca \( a^2+b^2\ge c^2 \) atunci ordinea este B'-N-M-D.
si MN=B'M-B'N=\( \frac{a^2+b^2-c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}B^{\prime}D=\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow a^2+b^2=2c^2 \)
2 Daca \( a^2+b^2< c^2 \) atunci ordinea este B'-M-N-D.
si atunci analog MN=\( \frac{1}{3} \)B'D \( \Longleftrightarrow 2(a^2+b^2)=c^2 \)
b) Notam Ab=a ,BC=b , CC'=c
1) Daca \( a^2+b^2\ge c^2 \) atunci ordinea este B'-N-M-D.
si MN=B'M-B'N=\( \frac{a^2+b^2-c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}B^{\prime}D=\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow a^2+b^2=2c^2 \)
2 Daca \( a^2+b^2< c^2 \) atunci ordinea este B'-M-N-D.
si atunci analog MN=\( \frac{1}{3} \)B'D \( \Longleftrightarrow 2(a^2+b^2)=c^2 \)