OLM Valcea 14.02.2009

[Al3xx]

1. Fie \( p,q \) doua numere reale care verifica relatia \( ( p^2 + q )( p + q - 1 ) + q - 1 = 0 . \)
Sa se arate ca daca \( p \) este numar natural nenul,atunci \( q \) este irational.

Prof. Vasile Pop, Universitatea Tehnica Cluj-Napoca

2. a) Sa se arate ca \( \sqrt{\frac{n-1}{n}} < \frac{2n-1}{2n} < \sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}} \) , oricare ar fi \( n \in N* \)
b) Sa se arate ca \( \frac{1}{2\sqrt{n}} < \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot ... \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ... \cdot 2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1} \), oricare ar fi \( n \in N , n \ge 2. \)

***

3. Se considera 2009 puncte in plan, oricare trei necoliniare, astfel incat aria oricarui triunghi determinat de acestea sa fie mai mica decat 1. Sa se arate ca toate punctele considerate sunt in interiorul unui triunghi de arie egala cu 4.

***

4. In patrulatarul convex ABCD se noteaza cu G centrul de greutate al triunghiului BCD si cu H ortocentrul triunghiului ACD. Sa se arate ca patrulaterul ABGH este paralelogram daca si numai daca G este centrul cercului circumscris triunghiului ACD.

***