Inegalitate integrala

[Marius Mainea]

Fie \( f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie derivabila cu derivata continua care indeplineste urmatoarele conditiile :

a) \( x\cdot f^{\prime}(x)\ge f(x), (\forall) x\in [0,1]; \)

b) \( \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} \) exista si este finita .

Sa se arate ca \( f(1)\ge \min (2\int_0^1f(x)dx,\int_0^1\frac{f(x)}{x}dx). \)

Marcel Chirita, GM 7-8/2008

[Bogdan Cebere]

Din \( \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} \) exista si este finita rezulta \( \lim_{x\to 0}f(x)=0 \) si cum \( f \) continua,atunci \( f(0)=0 \).
Din prima conditie rezulta ca \( f^\prime(x) \geq \frac{f(x)}{x} \), oricare\( x \in (0,1]. \)
Din a doua conditie, rezultatul se extinde si in zero.Intregrand inegalitatea intre \( 0 \) si \( 1 \), avem ca \( \int_0^1 f^\prime(x)dx \geq \int_0^1 \frac{f(x)}{x}dx \), echivalent cu \( f(1) \geq \int_0^1 \frac{f(x)}{x}dx. \)
Tot din prima conditie rezulta ca \( x f^\prime(x)+f(x) \geq 2f(x) \).
Prin integrare obtinem ca \( xf(x) |_0^1 \geq 2\int_0^1 f(x)dx \), rezulta \( f(1) \geq 2\int_0^1 f(x)dx \).