det(A^3+B^3)+det(A^3-B^3) este dublul unui cub

[Bogdan Posa]

Fie A si B matrice de ordinul 3 cu elemente intregi si \( \det A=\det B=0 \). Aratati ca
\( \det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3) \) este dublul unui cub perfect.

Dan Nedeianu, Lista Scurta 2008

[Marius Mainea]

Folosim relatia :

\( \det(A+xB)=(\det B)x^3+\tr(AB^{\ast})x^2+\tr(A^{\ast}B)x+\det A \) pentru orice x complex si orice matrice A, B de ordinul 3.

Asadar \( \det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3) =2\tr[A^3(B^3)^{\ast}] \)

Insa \( \tr[A^3(B^3)^{\ast}]=\tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3]=[\tr(AB^{\ast})]^3 \) si de aici rezulta concluzia problemei.

[lost]

Cum ai obtinut \( \tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3] \) ?

[bae]

\( \tr[A^3(B^{\ast})^3]=\tr[(AB^{\ast})^3] \)

Nici o sansa ca acest rezultat sa fie corect!

Sa consideram (pe linii) A=[000][001][011] si B=[100][010][000].

Pentru problema: obtinem ca suma de determinanti din enunt pentru A si B face 6.