Functii strict crescatoare
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
Functii strict crescatoare
Determinati toate functiile strict crescatoare \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) care verifica conditia \( f(x^2+y^2)=f^2(x)+f(y^2) \) pentru orice \( x,y \in \mathbb{Z} \).
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Luind x=y=0 in relatie se obtine \( f(0)=0 \)
Apoi x=1,y=0 , rezulta \( f(1)=1 \)
x=y=1 rezulta
\( f(2)=2 \) s.a.m.d. \( f(2^n)=2^n \) pentru orice n natural.
Apoi deoarece f este strict crescatoare \( f(x)=x \) pentru orice x natural.
Deasemenea luind -x in locul lui x in enunt si scazind din relatia initiala obtinem \( f^2(-x)=f^2(x) \) de unde f(-x)=-f(x) deci
\( f=\mathbb{1}_{\mathbb{Z}} \)
Apoi x=1,y=0 , rezulta \( f(1)=1 \)
x=y=1 rezulta
\( f(2)=2 \) s.a.m.d. \( f(2^n)=2^n \) pentru orice n natural.
Apoi deoarece f este strict crescatoare \( f(x)=x \) pentru orice x natural.
Deasemenea luind -x in locul lui x in enunt si scazind din relatia initiala obtinem \( f^2(-x)=f^2(x) \) de unde f(-x)=-f(x) deci
\( f=\mathbb{1}_{\mathbb{Z}} \)