Puncte intr-un cub

[Mihai Berbec]

Consideram un cub de latura 1 si in interiorul sau o multime finita de puncte \( \mathcal{A} \) cu proprietatile :
i) \( \mathcal{A} \) are cel putin 3 puncte
ii) distanta dintre oricare doua puncte din \( \mathcal{A} \) este cel mult egala cu d, unde 0<d<1.
Pentru fiecare \( P\in \mathcal{A} \), notam \( x_P \) cea mai mica distanta de la \( P \) la celelalte puncte din \( \mathcal{A}- \{P\} \). Aratati ca :

\( \sum_{P\in\mathcal{A}}{x^3_P} < (\sqrt{3}+d)^3 \).