Fie \( (a_k)_{k\ge1} \) un sir de numere naturale,care are proprietatea ca \( a_k \ge a_{2k}+a_{2k+1} \), oricare ar fi \( k\ge 1 \).
a)Demonstrati ca pentru orice numar natural \( n\ge 1 \) exista \( n \) termeni consecutivi nuli ai sirului.
b)Dati exemplu de un sir care are proprietatea din ipoteza si contine o infinitate de termeni nuli.
OJM 2005
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Adriana Nistor
- Pitagora
- Posts: 82
- Joined: Thu Aug 07, 2008 10:07 pm
- Location: Drobeta Turnu Severin, Mehedinti
Metoda reducerii la absurd
Presupunem ca toti termenii sirului sunt nenuli.Inegalitatea pentru cazurile particulare,conform enuntului,devine :
\( a_1 \ge a_2 + a_3 \)
Dar \( a_2 \ge a_4 + a_5 \)
\( \rightarrow a_1 \ge a_2 + a_3 \ge a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \ge ... \ge a_{2^n} + a_{2^n+1} + a_{2^n+2} + ... + a_{2^{n+1}-1} \ge 2^n \rightarrow \) contradictie pentru orice \( n \ge 1 \)
Presupunem ca toti termenii sirului sunt nenuli.Inegalitatea pentru cazurile particulare,conform enuntului,devine :
\( a_1 \ge a_2 + a_3 \)
Dar \( a_2 \ge a_4 + a_5 \)
\( \rightarrow a_1 \ge a_2 + a_3 \ge a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \ge ... \ge a_{2^n} + a_{2^n+1} + a_{2^n+2} + ... + a_{2^{n+1}-1} \ge 2^n \rightarrow \) contradictie pentru orice \( n \ge 1 \)