Subiectul 1 ONM Etapa Judeteana

BurnerD1 · Post by **BurnerD1** » Sat Mar 07, 2009 2:37 pm

Sa se determine numerele reale pozitive x,y,z care verrifica simultan egalitatile
\( x^2y^2 +1= x^2 + xy \)
\( y^2z^2 +1= y^2 + yz \)
\( z^2x^2 +1= z^2 + zx \)

mihai++ · Post by **mihai++** » Sat Mar 07, 2009 4:11 pm

\( x^2+xy=x^2y^2+1\geq2xy\Rightarrow x\geq y \) si toate analogele \( y\geq z, z\geq x\Rightarrow x=y=z=\pm1 \)

BurnerD1 · Post by **BurnerD1** » Sat Mar 07, 2009 5:03 pm

dc mai mare sau egal cu 2xy?

BurnerD1 · Post by **BurnerD1** » Sat Mar 07, 2009 5:05 pm

BurnerD1 wrote:dc mai mare sau egal cu 2xy?

.... si de ce x>y din asta ?:D imi explici si mie te rog? si raspunsul e +1 , pt c sunt reale pozitive

alex2008 · Post by **alex2008** » Sat Mar 07, 2009 6:01 pm

BurnerD1 wrote:dc mai mare sau egal cu 2xy?

Pai e inegalitatea mediilor ...

mihai miculita · Post by **mihai miculita** » Sat Mar 07, 2009 6:29 pm

\( \mbox{Mai elementar: }x^2y^2+1=x^2+xy\Leftrightarrow x^2y^2+1-2xy=x^2-xy\Leftrightarrow (xy-1)^2=x.(x-y);\\
\mbox{cum: } (xy-1)^2\ge 0\Rightarrow x.(x-y)\ge 0;\dots \)
Observatie:
\( \mbox{Inegalitatea mediilor deriva din: } (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0\Leftrightarrow a-2.\sqrt{ab}+b\ge 0\Leftrightarrow a+b\ge 2.\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab};(\forall)a;b\ge 0;\\
\mbox{ (adica: media aritmetica }\ge \mbox{ media geometrica; cu egalitate doar daca a=b).}\\
\mbox{Asa ca, folosind inegalitatea mediilor obtinem: } x^2y^2+1=2.\frac{x^2y^2+1}{2}\ge 2.\sqrt{\left(x^2y^2\right).1}=2xy\Rightarrow x^2y^2+1\ge 2.xy;(\forall)x;y\ge 0. \)