(a) Fie \( z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} \) nenule de acelasi modul cu \( z_1 + z_2 + z_3 = 0 \). Sa se arate ca \( A_j(z_j) \) sunt varfurile unui triunghi echilateral.
(b) Fie \( n \ge 3 \) si \( U_n \) multimea \( n \)-radacinilor unitatii. Sa se determine numarul maxim de elemente ale unei multimi \( A \subset U_n \) fara sume zero de forma \( z_1 + z_2 + z_3 \).
[ Olimpiada Judeteana 2009, Problema 4]
Radacini si triunghiuri echilaterale
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Radacini si triunghiuri echilaterale
Life is complex: it has real and imaginary components.
Asta a fost o problema draguta 
Punctul a) se rezolva usor, eventual dand o intepretare vectoriala relatiei.
In ceea ce priveste punctul b) se stie ca radacinile unitatii sunt varfurile unui \( n \)-gon regulat. Problema revine la a determina numarul maxim de puncte pe care putem sa le alegem dintre varfurile unui astfel de \( n \)-gon asa incat sa nu existe \( 3 \) care determina un triunghi echilateral.
Acum, e clar ca putem gasi un astfel de triunghi doar daca \( 3|n. \) In acest caz, daca \( n=3k, \) se formeaza \( k \) triunghiuri echilaterale consecutive, cu varfurile distincte, care acopera toate cele \( 3k \) varfuri ale \( n \)-gonului. Principiul cutiei forteaza \( |A|\leq 2k. \)
In concluzie \( |A|=\frac{2n}{3} \) pentru \( 3|n \) si \( |A|=n \) pentru \( n\equiv 1,2\pmod {3}. \)
Punctul a) se rezolva usor, eventual dand o intepretare vectoriala relatiei.
In ceea ce priveste punctul b) se stie ca radacinile unitatii sunt varfurile unui \( n \)-gon regulat. Problema revine la a determina numarul maxim de puncte pe care putem sa le alegem dintre varfurile unui astfel de \( n \)-gon asa incat sa nu existe \( 3 \) care determina un triunghi echilateral.
Acum, e clar ca putem gasi un astfel de triunghi doar daca \( 3|n. \) In acest caz, daca \( n=3k, \) se formeaza \( k \) triunghiuri echilaterale consecutive, cu varfurile distincte, care acopera toate cele \( 3k \) varfuri ale \( n \)-gonului. Principiul cutiei forteaza \( |A|\leq 2k. \)
In concluzie \( |A|=\frac{2n}{3} \) pentru \( 3|n \) si \( |A|=n \) pentru \( n\equiv 1,2\pmod {3}. \)