Consideram un patrat de \( 3X3 \) pe care il completam cu nr. naturale dupa modelul
\( \overline{\underline{\|1 \|3 \| 6 \|}} \)
\( {{\underline{\|2 \|5 \| 8 \|}}} \)
\( {\underline{\|4 \|7 \| 9 \|}} \)
Stergem nr. si recompletam patratul cu aceeasi regula cu nr. \( 10,11,12,13......18 \) si asa mai departe.
A. Pe ce pozitie a patratului va fi numarul \( 2005 \)? Justificati gasirea pozitiei.
B. Care este configuratia patratului si care sunt nr. daca suma lor este \( 1260 \)?
OJM Neamt 2009 subiectul I
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
a) De la stanga la dreapta, patratul este ocupat cu cate 9 numere grupate pe diagonala in 5 siruri.
Deoarece ultimul numar este intotdeauna multiplu de 9, inseamna ca numarul 2005 apartine patratului cu numerele 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. Configuratia patratului este urmatoarea:
\( \overline{\underline{\|1999\|2001\|2004\|}} \)
\( {{\underline{\|2000\|2003\|2006\|}}} \)
\( {{\underline{\|2002\|2005\|2007\| \)
b)Fie x numarul din coltul stanga sus al patratului.
\( \overline{\underline{\| x \|x+2\|x+5\|}} \)
\( {{\underline{\|x+1\|x+4\|x+7\|}}} \)
\( {{\underline{\|x+3\|x+6\|x+8\| \)
Suma numerelor din patrat este \( x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6+x+7+x+8=9x+\frac{8\cdot 9}{2}=9x+36=1260 \Rightarrow 9x=1224; x=136. \)
Deci numerele sunt 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144.
Configuratia patratului este:
\( \overline{\underline{\|136\|138\|141\|}} \)
\( {{\underline{\|137\|140\|143\|}}} \)
\( {{\underline{\|139\|142\|144\| \)
Deoarece ultimul numar este intotdeauna multiplu de 9, inseamna ca numarul 2005 apartine patratului cu numerele 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. Configuratia patratului este urmatoarea:
\( \overline{\underline{\|1999\|2001\|2004\|}} \)
\( {{\underline{\|2000\|2003\|2006\|}}} \)
\( {{\underline{\|2002\|2005\|2007\| \)
b)Fie x numarul din coltul stanga sus al patratului.
\( \overline{\underline{\| x \|x+2\|x+5\|}} \)
\( {{\underline{\|x+1\|x+4\|x+7\|}}} \)
\( {{\underline{\|x+3\|x+6\|x+8\| \)
Suma numerelor din patrat este \( x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6+x+7+x+8=9x+\frac{8\cdot 9}{2}=9x+36=1260 \Rightarrow 9x=1224; x=136. \)
Deci numerele sunt 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144.
Configuratia patratului este:
\( \overline{\underline{\|136\|138\|141\|}} \)
\( {{\underline{\|137\|140\|143\|}}} \)
\( {{\underline{\|139\|142\|144\| \)