2 ecuatii de gradul al doilea

[Claudiu Mindrila]

\( 1. \)Fie \( a,\ b,\ c, \ p,\ q \) cinci numere reale, distincte si nenule. Daca ele satisfac relatiile \( a^{3}+pa+q=0,\ b^{3}+pb+q=0, \ c^{3}+pc+q=0 \), atunci \( a+b+c=0 \).

[ONM 1991, Valcea]

\( 2. \) Fie \( a,\ b,\ c \) numere reale nenule. Ecuatiile \( ax^{2}-2cx+b=0,\ bx^{2}-2ax+c=0,\ cx^{2}-2bx+a=0 \) au o radacina comuna daca si numai daca \( a=b=c \).

[I. Chesca, O.N.M. 1993]

[mihai miculita]

\( \mbox{Eu cred ca sursa primei probleme trebuie cautata in ecuatia de gradul 3: }\\
(1) \ \ x^3+px+q=0, \mbox{ cu radacinile } x_1, x_2, x_3.\\
\mbox{Potrivit relatiilor lui Viete, avem atunci: } x_1+x_2+x_3=0 \mbox{; iar a, b si c sunt solutii ale ecuatiei (1)} \\
\mbox{...asa ca problema nu-i de clasa 8-a.} \)

[Marius Mainea]

1)Daca scadem primele doua relatii obtinem \( (a-b)(a^2+ab+b^2+p)=0 \) de unde \( a^2+ab+b^2+p=0 \)

Analog \( b^2+bc+c^2+p=0 \) si iarasi prin scadere \( (c-a)(c+a+b)=0
\)

Problema este rezolvata.