O functie uniform continua pe o mult. marginita e marginita

[Iulian Cimpean]

Demonstrati ca o functie uniform continua pe o multime marginita e marginita.

[Alin Galatan]

Presupunem ca \( f \) e nemarginita, deci putem construi un sir \( (x_n) \) astfel ca \( ||f(x_n)||>n \). Cum domeniul e marginit, extragem un subsir convergent (dar nu neaparat convergent la un punct din domeniu, deoarece nu mai e compact). Ii voi spune tot \( x_n \), pentru simplitate.
Deoarece f e unif. continua, exista \( \delta \) astfel ca \( ||f(x)-f(y)||<1 \), pentru orice \( ||x-y||<\delta \)
Deoarece sirul e si sir Cauchy, gasim un N astfel ca \( ||x_N-x_{N+p}||<\delta \) pentru orice \( p\in N \)
Deci \( ||f(x_N)-f(x_{N+p})||<1 \), pentru orice p. Trecand la limita dupa p, obtinem contradictie, tinand cont ca \( ||f(x_{N+p})||\to\infty \) odata cu p.
Deci functia e marginita.

Pentru a abstractiza mai mult, in spatii nu neaparat complete, putem zice direct ca din sirul \( (x_n) \) putem extrage un subsir Cauchy. Nu am verificat riguros, dar asa pare, daca impartim multimea in diferite bucati care sa se micsoreze si aplicam principiul cutiei.

[Cezar Lupu]

Se pot face multe variatiuni pe aceasta tema. Ceea ce a spus july nu reprezinta altceva decat teorema lui Weierstrass. In clasa XI-a ea a fost prezentata sub forma ca orice functie continua \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) este marginita si isi atinge marginile. In anul I de facultate ea a fost data la cursul de Analiza Reala sub forma urmatoare:

Fie \( (X, \tau) \) un spatiu topologic, \( A \) o multime compacta din \( \mathbb{R} \) si fie \( f:A\to\mathbb{R} \) o functie continua. Atunci \( f \) este marginita si isi atinge marginile.

Demonstratia este destul de simpla. Consider multimea compacta \( A \) si cum \( f \) este continua rezulta ca multimea \( f(A) \), care este inclusa in \( \mathbb{R} \), este compacta. Insa multimile compacte din \( \mathbb{R} \) sunt inchise si marginite. Acum, fie \( \alpha=\inf f(A) \), \( \beta=\sup f(A) \). Atunci in mod evident avem ca \( \alpha\leq f(x)\leq\beta, \forall x\in A \). Deci \( f \) este marginita. Folosind faptul ca \( f(A) \) este inchisa, rezulta ca \( \alpha, \beta\in f(A) \) adica exista \( x_{1}, x_{2}\in A \) astfel ca \( \alpha=f(x_{1}) \) si \( \beta= f(x_{2}) \), ceea ce inseamna ca \( f \) isi atinge marginile.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Acum sa facem o alta variatiune. Asa cum am mai zis si o repet, partea interesanta este cea cu atingerea marginilor. Avand in vedere ca topicul se refera la marginire, voi da un rezultat foarte interesant si anume:

Fie \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie care are limite laterale finite in orice punct din \( \mathbb{R} \). Atunci \( f \) este marginita.

Demonstratia acestui rezultat este anticipata si de Alin mai sus. Am sa reiau ideile.
Sa presupunem, prin reducere la absurd, ca \( f \) este nemarginita. Atunci exista un sir \( (x_{n})_{n\geq 1} \) cu \( x_{n}\in [a, b] \) oricare ar fi \( n\geq 1 \), cu proprietatea ca \( \lim_{n\to\infty} | f(x_{n})|=\infty \). Insa, sirul \( (x_{n})_{n\geq 1} \) fiind marginit , conform lemei lui Cesaro, exista un subsir monoton si chiar convergent \( (x_{\varphi(n)})_{n\geq 1} \). Cu alte cuvinte, exista \( c\in [a,b] \) astfel incat
\( \lim_{n\to\infty} x_{\varphi(n)}=c\in [a,b] \). Atunci vom avea ca
\( \lim_{n\to\infty} |f(x_{\varphi(n)})|= |f(x_{0}-0)| \) sau este egala cu
\( |f(x_{0}+0)| \), dupa caz. Astfel, am obtinut o contradictie cu faptul ca \( \lim_{n\to\infty} |f(x_{n})|=\infty \). Deci \( f \) este marginita.

[Iulian Cimpean]

Nu-i Weierstrass. "O functie f uniform continua pe o multime (oarecare) marginita implica f marginita" e teorema lui Weierstress? Sau cumva orice functie continua pe o multime marginita e uniform continua? Nu prea cred. Si nici orice spatiu topologic nu e R.

[Cezar Lupu]

N-ai inteles ce am vrut sa spun. Cand am zis Weierstrass, m-am referit la faptul ca orice functie continua definita pe un compact cu valori reale este marginita si isi atinge marginile. Din ce am vazut eu, tu te referi doar la marginire si demonstratia lui Alin face aluzie la rezultatul ala care l-am demonstrat cu limite laterale.

Uite te las pe tine sa rezolvi urmatoarea problema, gen Weierstrass:

Fie \( f: [0,\infty)\to\mathbb{R} \) o functie continua astfel incat \( \lim_{x\to\infty} f(x)=l\in\mathbb{R} \). Sa se arate ca \( f \) este marginita si isi atinge cel putin o margine.

[Liviu Paunescu]

Daca o functie este uniform continua, atunci se poate prelungi la frontiera. Aplicati dupa aceea Weierstrass. Bineinteles lucrurile nu merg decat pe \( \mathbb{R} \) sau cel mult \( \mathbb{R}^n \).