C.m.m.d.c. al termenilor unui sir

[Claudiu Mindrila]

Fie \( a_{n}=n^{7}-n \), pentru orice \( n\in\mathbb{N}^{*} \). Sa se afle cel mai mare divizor comun al numerelor \( a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\: n\ge3 \).

Mugur Acu, concursul "Gh. Lazar", 2009

[mihai miculita]

\( (a_1;a_2;\dots;a_n)=42; (\forall)n\ge3.\\
\mbox{Este suficient sa aratati ca: } (n^7-n)\vdots 42. \mbox{ Demonstrati!} \)

[Laurian Filip]

Din cauza ca \( a_2=126 \) si \( a_3 \) nu e divizibil cu 9 este suficient sa aratam ca \( n^7-n \vdots 42 \) pentru a ajunge la concluzia ca cmmdc este egal cu 42

Solutia 1

1. Este divizibil cu 2 deoarece \( n^7 \) si \( n \)au aceeasi paritate.

2. Luam pe rand formele lui \( n \) (\( n\in \lbrace 3k, 3k+1, 3k-1 \rbrace \)) si obtinem din Binomul lui Newton ca \( n^7-n \) este divizibil cu 3.

3. Din mica teorema a lui Fermat \( n^7 \equiv n (mod 7) \), adica \( n^7-n \vdots 7 \) pt n nedivizibil cu 7 iar pt n divizibil cu 7 e evident ca este.

Cum 2, 3 si 7 sunt prime \( \to \) \( n^7-n \vdots 42 \).

Solutia 2
\( n^7-n=n(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1) \)
care evident este divizibil cu 2 si 3 (3 numere consecutive), iar pentru 7 se ia pe rand fiecare rest modulo 7 si la fiecare dintre resturi una din paranteze este divibila cu 7.

[cristi_lazar]

ma mira foarte mult ca unii dintre noi nu stiu cine e domnul profesor mihai miculita si cred din nou ca fiind pe forum,toti suntem de o seama....cam atat.
in rest problema e banala si f veche,bine ca e semnata