Puncte pe o dreapta

[BogdanCNFB]

Pe dreapta \( d \) se considera punctele \( A_1,A_2,...,A_{11} \) cu proprietatea ca \( A_iA_j<1 \) pentru orice \( i,j\in {1,2,...,11} \). Sa se arate ca:
\( \sum_{1\le i<j\le 11} A_iA_j<30 \).

[Marius Mainea]

Putem presupune ca ordinea este \( A_1,A_2,...,A_{11} \) atunci
LHS=\( 10A_1A_2+9A_2A_3+...+A_{10}A_{11}<10(A_1A_2+A_2A_3+...+A_{10}A_{11})=10A_1A_{11}<10 \)

[Beniamin Bogosel]

Putem presupune ca ordinea este \( A_1,A_2,...,A_{11} \) atunci
LHS=\( 10A_1A_2+9A_2A_3+...+A_{10}A_{11}<10(A_1A_2+A_2A_3+...+A_{10}A_{11})=10A_1A_{11}<10 \)

Nu cred ca e bine... si \( A_{10}A_{11} \) apare tot de 10 ori in suma data...

Daca notam cu \( x_1<x_2<...<x_{11} \) coordonatele punctelor pe dreapta, suma data este egala cu \( \sum_{i<j}^{11}(x_j-x_i)=-10x_1-8x_2-6x_3-4x_4-2x_5+2x_7+4x_8+6x_9+8x_{10}+10x_{11}<10+8+6+4+2=30 \).