Inegalitatea in numere reale pozitive

[alex2008]

Fie \( n\in \mathbb{N}^{*}\ ,\ x_1,x_2,...,x_n \) numere reale strict pozitive astfel incat \( \sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\le 1 \) . Aratati ca :

\( \prod_{k=1}^n x_k\ge (n-1)^n \)



Dan Stefan Marinescu , GM 2001

[maxim bogdan]

Fie \( n\in \mathbb{N}^{*}\ ,\ x_1,x_2,...,x_n \) numere reale strict pozitive astfel incat \( \sum_{k=1}^n\frac{1}{a+x_k}\le 1 \) . Aratati ca :

\( \prod_{k=1}^n x_k\ge (n-1)^n \)



Dan Stefan Marinescu , GM 2001

Mai intai cine este \( a \)? Daca e un numar pozitiv oarecare pentru \( a\to\infty \) conditia e satisfacuta, iar numerele \( x_{i}, i=\overline{1,n} \) pot fi oricat de mici ceea ce arata ca inegalitatea nu e tot timpul adevarata.

O alta inegalitate (ceva mai restrictiva) este urmatoarea:

\( \bullet \) Fie \( n \) un numar intreg pozitiv, si numerele \( x_{1},x_{2},\dots,x_{n} \) mai mari sau egale cu \( 1 \) astfel incat

\( \sum_{k=1}^n\frac{1}{1+x_k}\le 1 \) . Demonstrati ca:

\( \prod_{k=1}^n x_k\ge (n-1)^n \)


Aceasta inegalitate este o aplicatie a cunoscutei (asa ar trebui) leme:

Lema:

\( \bullet \) Daca \( x_{1}, x_{2}, \dots ,x_{n} \) numere reale mai mari sau egale cu \( 1 \) atunci are loc urmatoarea inegalitate:

\( \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+\dots+\frac{1}{1+x_{n}}\geq\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\dots x_{n}}}. \)

Aplicand aceasta lema si tinand cont de conditia din enuntul problemei vom obtine:

\( 1\geq\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\dots x_{n}}}\Longleftrightarrow \displaystyle\prod_{i=1}^n x_{i}\geq (n-1)^n. \)

Observatie. E esential faptul ca numerele \( x_{1},x_{2}\dots x_{n} \) sunt mai mari sau egale cu \( 1. \) De exemplu pentru \( n=2 \) lema va fi echivalenta cu:

\( \frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}\geq\frac{2}{1+\sqrt{x_{1}x_{2}}}\Longleftrightarrow (\sqrt{x_{1}x_{2}}-1)(\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})^2\geq 0. \)

In schimb inegalitatea propusa de tine ramane adevarata (pentru \( a:=1 \)) chiar daca numerele \( x_{1},\dots x_{n} \) nu sunt toate mai mari ca \( 1. \) Am vrut sa aduc in atentie lema de mai sus pe care o propun spre rezolvare.