O inegalitate "mai tare" intr-un triunghi.

[Virgil Nicula]

Sa se arate ca intr-un triunghi \( ABC \) exista inegalitatea "mai tare"

\( \underline{\overline{\left\|\ 3\cdot\sum a^2(b+c-a)\ \le\ 8abc+\prod (b+c-a)\ \right\|}}\ \le\ 9abc \) .

[maxim bogdan]

Sa se arate ca intr-un triunghi \( ABC \) exista inegalitatea "mai tare"

\( \underline{\overline{\left\|\ 3\cdot\sum a^2(b+c-a)\ \le\ 8abc+\prod (b+c-a)\ \right\|}}\ \le\ 9abc \) .

Avem:

1) \( \prod (b+c-a)=\displaystyle\sum_{sym}a^2b-\displaystyle\sum_{cyc}a^3-2abc \)

2) \( \displaystyle\sum_{cyc}a^2(b+c-a)=\displaystyle\sum_{sym}a^2b -\displaystyle\sum_{cyc}a^3 \)

Astfel inegalitatea va deveni:

\( \underline{\overline{\left\|\ 3\displaystyle\sum_{sym}a^2b-3\displaystyle\sum_{cyc}a^3\leq\displaystyle\sum_{sym}a^2b-\displaystyle\sum_{cyc}a^3+6abc\ \right\|}}\leq 9abc. \)

Inegalitatea din "stanga" este echivalenta cu: \( \displaystyle\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \displaystyle\sum_{sym}a^2b \) care este chiar inegalitatea lui Schur pentru r=1.

Inegalitatea din "dreapta" este echivalenta cu: \( \displaystyle\sum_{cyc}a^3+3abc\geq \displaystyle\sum_{sym}a^2b, \) adica tot inegalitatea lui Schur pentru r=1.

Observatii:

1) Inegalitatea are loc pentru orice numere reale pozitive (nu neaparat lungimi de laturi de triunghi).

2) Nu vad care din inegalitati este mai "tare" ambele reducandu-se la acelasi caz particular (pentru r=1) al inegalitatii lui Schur.