Principiul,,cutiei''

[Marius Mainea]

Fie \( D\subset[0,1] \) o multime cu 9 elemente si a,b>0 cu proprietatea ca 2a+b=2 si notam \( f(x)=ax^2+bx+2009. \) Aratati ca exista doua numere diferite \( \alpha,\beta\in D \) astfel incat \( |f(\alpha)-f(\beta)|\le\frac{1}{4} \)

R.Zamfir,R.Minus,nr. 1/2009

[Claudiu Mindrila]

Avem pentru inceput ca \( \left|f\left(\alpha\right)-f\left(\beta\right)\right|=\left|a\left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)+b\left(\alpha-\beta\right)\right|=\left|\left(\alpha-\beta\right)\left[a\left(\alpha+\beta\right)+b\right]\right| \).

Dar \( \alpha,\ \beta\in\left[0,1\right]\Longrightarrow0\le\alpha+\beta\le2\Longrightarrow0\le a\left(\alpha+\beta\right)+b\le2a+b=2 \). Pentru finalizarea problemei este suficient sa aratam ca exista doua numere \( \alpha,\ \beta\in D \) astfel incat \( \alpha-\beta\le\frac{1}{8} \). Deoarece multimea \( D \) are \( 9 \) elemente, impartind-o in intervalele disjuncte \( \left[0,\ \frac{1}{8}\right],\ \left[\frac{1}{8},\ \frac{2}{8}\right],\dots,\ \left[\frac{7}{8},\ 1\right] \) va rezulta in baza principiului lui Dirichlet ca vor exista doua numere distincte apartinand aceluiasi interval. Problema este astfel rezolvata.