Drepte concurente in triunghi

[bogdanl_yex]

Fie \( ABC \)un triunghi ascutitunghic cu inaltimile \( AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime} \) astfel incat \( A^{\prime} \in [BC], B^{\prime} \in [AC], C^{\prime} \in [AB] \) si ortocentrul \( H \). Construim paralelogramele \( B^{\prime}HA{\prime}A{\prime\prime}, A^{\prime}HC{\prime}B{\prime\prime}, B^{\prime}HC{\prime}C{\prime\prime} \). Aratati ca drepetele \( AA^{\prime\prime}, BB^{\prime\prime}, CC^{\prime\prime} \) sunt concurente.

[Virgil Nicula]

O usoara extensie.

Notam proiectiile \( D \) , \( E \) , \( F \) ale unui punct \( P \) interior triunghiului \( ABC \) pe dreptele \( BC \) , \( CA \) , \( AB \) respectiv.

Construim paralelogramele \( PEXF \) , \( PFYD \) , \( PDZE \) . Sa se arate ca \( AX\ \cap\ BY\ \cap\ CZ\ \ne\ \emptyset \) .

[maxim bogdan]

Fie notatiile cele din figura de mai sus. ( in loc de \( X,Y,Z \) am pus \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \) deoarece nu stiu din ce motiv in Geogebra apare o eroare cand atribuim unui punct litera \( X \)).

Vom demonstra ca cele trei drepte sunt concurente in punctul \( Q \) (conjugatul izogonal al lui \( P \)).

Sa demonstram ca \( AA^{\prime} \) trece prin \( Q. \)

Pentru inceput sa observam ca \( A^{\prime} \) este ortocentrul triunghiului \( AEF. \) Deci \( AA^{\prime}\perp EF. \)

Avem \( Q\in AA^{\prime}\Longleftrightarrow \angle{A^{\prime}AF}\equiv\angle{PAE}. \) Patrulaterul \( PEAF \) este inscriptibil \( \Longrightarrow \angle{PAE}\equiv\angle{PFE}\equiv\angle{A^{\prime}AF}. \)

Deci \( AA^{\prime} \) trece prin \( Q. \) Analog se arata ca dreptele \( BB^{\prime} \) si \( CC^{\prime} \) trec prin \( Q. \) Astfel cele \( 3 \) drepte vor fi concurente in conjugatul izogonal punctului \( P. \)

In cazul particular in care \( P:=H \) cele trei drepte vor fi concurente in \( O \) (centrul cercului circumscris triunghiului).

[Virgil Nicula]

Multumesc, Maxim Bogdan !