Concursul Interjudetean Memorial ,,Preda Filofteia"

[Al3xx]

1. a) Fie \( a>0,b>0 \) doua numere reale. Sa se arate ca :

\( \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{{(x+y)}^2}{a+b};x,y \in R. \)

b) Daca \( a,b,c>1;a,b,c \in R \), sa se arate ca :

\( \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12. \)

2. Fie \( {(a_n)}_{n\ge1} \)o progresie aritmetica in care primul termen si ratia sunt numere naturale si \( {(b_n)}_{n\ge1} \) o progresie geometrica cu termeni nenuli.
a) Demonstrati ca \( {({b_a}_n)}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica;
b) In ce conditii \( {({b_n}^{a_n})}_{n\ge1} \) este o progresie geometrica?

3. Se considera triunghiul \( ABC \) si punctele \( D,Q,E \) cu proprietatile \( D\in(AB),Q\in(CD),C\in(BE) \) si \( \frac{AB}{AD} = \frac{CQ}{QD}= \frac{BE}{BC}. \) Se mai considera si punctele \( F \) si \( M \) asa incat \( CE||DF\ ,\ DC||FE \) si \( M\in(DE). \)Sa se arate ca \( Q,M,F \) sunt coliniare daca si numai daca \( 2+\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{DM} \).

4. Determinati toate functiile \( f:A \rightarrow A \) stiind ca :

\( f(x+yf(x))=f(x)+f(yf(x)) \),oricare ar fi \( x,y \in A \),

in cazurile \( A=[0; \infty ) \) si \( A=(0; \infty ) \).

[Virgil Nicula]

3. Fie triunghiul \( ABC \) si punctele \( D,Q,E \) astfel ca \( D\in(AB),Q\in(CD),C\in(BE) \) si \( \frac{AB}{AD} = \frac{CQ}{QD}= \frac{BE}{BC}. \)

Fie punctele \( F \) si \( M \) asa incat \( CE||DF\ ,\ DC||FE \) si \( M\in(DE). \) Sa se arate ca \( M\in QF\Longleftrightarrow 2+\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{DM} \) .

Dem. Se observa ca \( 2+\frac {AB}{AD}=5 \) si \( CDFE \) este un paralelogram. Deci \( M\ \in\ QF\ \Longleftrightarrow \)

\( \frac {MD}{ME}=\frac {DQ}{DC}\Longleftrightarrow \) \( \frac {MD}{ME}=\frac 14\Longleftrightarrow\frac {MD}{1}=\frac {ME}{4}=\frac {DE}{5}\Longleftrightarrow \frac {DE}{DM}=5\Longleftrightarrow 2+\frac{AB}{AD}=\frac{DE}{DM}\ . \)

Observatie. Dupa parerea mea, aceasta problema pana si pentru teza de la clasa a VII-a ar fi fost prea usoara ! La clasa a IX-a, prin tratarea vectoriala obligatorie a problemelor de geometrie plana, multi profesori neglijeaza predarea proprietatilor sintetice ale figurilor plane. Mare PACAT !
Iar de inegalitati nu doresc sa spun prea multe. Doar atat, au invadat toate concursurile scolare precum insectele de mii de mii de ani pamantul.