Inegalitate conditionata in triunghi

[Al3xx]

Fie \( a,b,c \ge 0 \) si \( a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 \) astfel incat exista triunghiul ABC in care \( a=2\cos A,\ b=2\cos B,\ c=2\cos C. \) Sa se demonstreze ca \( a+b+c\le3. \)

[andy crisan]

Inlocuind in acea inegalitate vom obtine \( \sum \cos A\leq\frac{3}{2} \). Care este evident adevarata din ineg lui Jensen caci cos este concava pe \( [0;\pi] \) si deci avem\( \frac{\sum \cos A}{3}\leq\cos\(\frac{A+B+C}{3}\)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \) de unde cerinta.

[maxim bogdan]

Inlocuind in acea inegalitate vom obtine \( \sum \cos A\leq\frac{3}{2} \). Care este evident adevarata din ineg lui Jensen caci cos este concava pe \( [0;\pi] \) si deci avem\( \frac{\sum \cos A}{3}\leq\cos\(\frac{A+B+C}{3}\)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \) de unde cerinta.

Nu prea cred. Functia \( \cos \) este concava pe \( (0;\frac{\pi}{2}) \) si convexa pe \( (\frac{\pi}{2};\pi). \)

Oricum inegalitatea: \( \sum \cos A\leq\frac{3}{2}, \ A+B+C=\pi \) este adevarata, deoarece:

\( 3-2(\cos A+\cos B+\cos C)=(\sin A-\sin B)^2+(\cos A+\cos B-1)^2\geq 0. \)