Aria si raza cercului inscris

[Claudiu Mindrila]

Un triunghi cu arie mai mica subunitara \( 1 \) are raza cercului inscris mai mica decat \( \frac{1}{2} \).

Claudiu Mindrila, R.M.T. 3/2009

[Marius Mainea]

Folosind formla lui Heron \( A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) se obtine inegalitatea lui \( Weitzenb\ddot{o}ck \)

\( A\le\frac {p^2}{3\sqrt{3}} \)

Deasemenea \( A=p\cdot r \) si daca prin absurd ar exista un astfel de triunghi atunci

\( 1>A=p\cdot r>\frac{p}{2} \) deci \( p<2 \) (*)

Pe de alta parte \( \frac{p^2}{3\sqrt{3}}\ge A>\frac{p}{2} \) de unde \( p>\frac{3\sqrt{3}}{2} \) (**)

Din contradictia relatiilor (*) si (**) rezulta ca nu putem avea un astfel de triunghi.

Observatie: Relatia (**) se poate obtine si din inegalitatea lui Mitrinovic \( p\ge 3r\sqrt{3} \).

[Claudiu Mindrila]

Solutia mea:

\( S\in\left(0,1\right)\Leftrightarrow S<\sqrt{S}\Leftrightarrow S<\sqrt[4]{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}<\frac{4p-2p}{4}=\frac{p}{2}\Leftrightarrow r\cdot p<\frac{p}{2}\Leftrightarrow r<\frac{1}{2} \).

Rezulta deci ca triunghiul cu arie mai mica decat \( 1 \) nu poate avea raza cercului inscris mai mare decat \( \frac{1}{2}. \)

[DrAGos Calinescu]

Si eu aveam o rezolvare cu Mitrinovic. Am si eu o intrebare in legatura cu ea.
Din cate stiu e valabila si \( p\le\frac{3\sqrt{3}}{2}R \)?