Corp finit cu cel putin 3 elemente
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Corp finit cu cel putin 3 elemente
Sa se arate ca suma elementelor unui corp finit cu cel putin 3 elemente este nula.
Fie \( (K,+,\cdot) \) un corp finit. Intr-un grup comutativ \( (K,+) \) suma elementelor este suma celor de ordin 2, adica acei \( x\in K \) cu proprietatea ca \( x+x=0 \).
Daca \( charK\neq 2 \) atunci ecuatia \( x+x=0 \) are solutie unica pe \( x=0 \).
Daca \( charK=2 \) atunci \( |K|=2^p, p \in \mathbb{N}, p\geq2 \). Putem partitiona \( K \) in multimi de forma \( \left{x, x+1} \). Suma elementelor unei astfel de multimi este \( x+(x+1)=1 \) si cum avem \( 2^{p-1} \) multimi atunci suma elementelor lui \( K \) este \( 2^{n-1} \cdo 1 = 0. \) (q.e.d.)
Daca \( charK\neq 2 \) atunci ecuatia \( x+x=0 \) are solutie unica pe \( x=0 \).
Daca \( charK=2 \) atunci \( |K|=2^p, p \in \mathbb{N}, p\geq2 \). Putem partitiona \( K \) in multimi de forma \( \left{x, x+1} \). Suma elementelor unei astfel de multimi este \( x+(x+1)=1 \) si cum avem \( 2^{p-1} \) multimi atunci suma elementelor lui \( K \) este \( 2^{n-1} \cdo 1 = 0. \) (q.e.d.)