ONM Problema 3

[Laurian Filip]

Fie \( A,B \in M_n(\mathbb{C}) \) cu \( AB=BA \) si \( \det B \neq 0 \).
a) Aratati ca daca \( |\det(A+zB)|=1 \) pentru orice \( z\in\mathbb{C} \) cu \( |z|=1 \), atunci \( A^n=0_n \).
b) Ramane adevarata concluzia daca eliminam conditia \( AB=BA \)?

[Cosmin Pohoata]

Am o solutie mai directa decat cea din barem (mai directa, dar nu mai usoara, deoarece folosesc ca valorile proprii ale lui \( A + zB \) sunt \( a_i+zb_i \), unde \( a_i, b_i \) sunt valorile proprii pt. \( A \), respectiv \( B \), atunci cand \( AB = BA \)).

Ridicand la patrat relatia si conjugand obtinem ca: \( \det (A + zB) \det (\overline{A} + \frac{1}{z} \overline{B}) - 1 = 0 \). Aceasta este echivalenta cu:
\( P(z)=\prod_{i=1}^{n}{(a_{i}+zb_{i})(z\overline{a_{i}}+\overline{b_{i}})} - z^{n} = 0 \), pentru orice \( |z|=1 \). Deci polinomul \( P \) se anuleaza intr-o infinitate de valori, rezulta ca se anuleaza peste tot. In particular, fie \( z_{i} = -\frac{a_{i}}{b_{i}} \), \( 1 \leq i \leq n \) (se pot alege aceste z-uri caci \( b_{i} \neq 0 \), oricare ar fi \( i \), intrucat \( \det B \neq 0 \)). Avem \( P(z_{i}) = 0 = \left(-\frac{a_{i}}{b_{i}}\right)^{n} \). Deci \( a_{i} = 0 \), pentru orice i. In concluzie, \( A \) e nilpotenta.

In concurs nu m-am prins ce z-uri trebuie sa aleg ca ma zorea supraveghetoarea sa dau foaia .