ONM 2009, problema 4
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
bogdanl_yex
- Pitagora
- Posts: 91
- Joined: Thu Jan 31, 2008 9:58 pm
- Location: Bucuresti
ONM 2009, problema 4
Sa se determine toate functiile \( f:[0,1] \rightarrow [0,1] \) continue si bijective cu proprietatea ca \( \int_0^1 g(f(x))dx=\int_0^1 g(x)dx \) pentru orice functie continua \( g:[0,1] \rightarrow R \).
"Don't worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater"(Albert Einstein)
Presupunem ca \( f(0)=0 \), cazul \( f(0)=1 \) se face analog.
Presupunem ca exista \( x<y \) cu \( f(x)=y \) si luam z astfel incat \( x<z<y \). Consideram functiile \( g \leq h \) , g este egala cu 1 pe \( [0,z] \), 0 pe \( [y,1] \) si liniara pe \( [z,y] \). h este egala cu 1 pe \( [0,y] \) si 0 pe \( [y,1] \).
Aplicam ipoteza pt. g si folosim \( \int g(f(x)) \leq \int h(f(x)) \): \( \int g(x)=z+\frac{y-z}{2} \leq \int h(f(x))=x \) , contradictie. Cazul \( x>y \) se face analog.
Pare mai simpla decat solutia oficiala.
Presupunem ca exista \( x<y \) cu \( f(x)=y \) si luam z astfel incat \( x<z<y \). Consideram functiile \( g \leq h \) , g este egala cu 1 pe \( [0,z] \), 0 pe \( [y,1] \) si liniara pe \( [z,y] \). h este egala cu 1 pe \( [0,y] \) si 0 pe \( [y,1] \).
Aplicam ipoteza pt. g si folosim \( \int g(f(x)) \leq \int h(f(x)) \): \( \int g(x)=z+\frac{y-z}{2} \leq \int h(f(x))=x \) , contradictie. Cazul \( x>y \) se face analog.
Pare mai simpla decat solutia oficiala.