Relatia lui Steiner

[alex2008]

Fie un triunghi ABC si punctele M, N pe (BC) , astfel incat unghiul BAM sa fie congruent cu unghiul NAC si unghiul MAC sa fie congruent cu unghiul BAN. (Se spune in acest caz ca cevienele AM si BN sunt izogonale.) Sa se demonstreze relatia lui Steiner :
\( MB\cdot{NB}\cdot{AC^2}=MC\cdot{NC}\cdot{AB^2} \)

[Andi Brojbeanu]

Fie O proiectia punctului B pe AM, S proiectia punctului C pe AM, R proiectia punctului B pe AN si P proiectia punctului C pe AN.
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice MBO si MCS rezulta: \( \frac{MB}{MC}=\frac{BO}{CS} \).

Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice NBR si NCP rezulta: \( \frac{NB}{NC}=\frac{BR}{CP}. \)

Inmultind cele doua relatii obtinem:\( \frac{MB}{MC}\cdot \frac{NB}{NC}=\frac{BO}{CS}\cdot \frac{BR}{CP}=\frac{BO}{CP}\cdot \frac{BR}{CS}. \)

Triunghiurile dreptunghice ABR si ACS sunt asemenea (\( \widehat{BAR}\equiv\widehat{CAS} \)). Rezulta: \( \frac{BR}{CS}=\frac{AB}{AC} \).

Triunghiurile dreptunghice BAO si CAP sunt asemenea (\( \widehat{BAO}\equiv\widehat{CAP} \)). Rezulta: \( \frac{BO}{CP}=\frac{AB}{AC} \).

Deci \( \frac{MB}{MC}\cdot \frac{NB}{NC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AB}{AC}=\frac{AB^2}{AC^2}. \)

Inmultind mezii si extremii, obtinem relatia lui Steiner: \( MB\cdot NB \cdot AC^2=MC \cdot NC \cdot AB^2 \).