H subgrup al centrului grupului

[Radu Titiu]

Fie \( G \) un grup finit cu \( |G|=n \) si fie \( p \) cel mai mic numar prim a.i. \( p|n \). Daca subgrupul \( H \), cu \( |H|=p \), este unicul subgrup al lui \( G \) cu \( p \) elemente, atunci aratati ca \( H \) este inclus in \( Z(G) \), unde \( Z(G) \) e centrul grupului \( G \).

[Bogdan Cebere]

Problema este de la ONM 2006 si este propusa de I. Savu.

Solutie
Din ipoteza rezulta ca \( H=g^{-1}Hg,\forall g \in G \). Atunci\( f:H \to H,f(h)=g^{-1}hg \) este binedefinita si bijectiva. Cum \( f \) duce \( 0 \) in \( 0 \), atunci \( f_{|H^*} \) este tot bijectie, deci \( f^{(p-1)!}=1_H \). Avem \( g^{-(p-1)!}xg^{(p-1)!}=x, x \in H \) sau \( g^{(p-1)!}x=xg^{(p-1)!} \). Cum \( x^ng=gx^n \) si \( ((p-1)!,n)=1 \), atunci \( x \in Z(G) \).

Exista si o "varianta" (cateva asemanari la enunt si atat) pentru corpuri (care apare si aici) si, in unele carti, are si un nume (teorema Cartan-Brauer-Hua):

Daca \( D \) este un corp si \( K \) un subcorp al lui \( D \) astfel incat \( xKx^{-1}\subseteq K,\forall x \in D \), atunci \( K \subseteq Z(D) \).