Tetraedre Crelle

[baleanuAR]

Tetraedre Crelle (tetraedre carcasa)

Teorema
Fiin dat un tetraedru \( ABCD \), exista o sfera tangenta celor sase muchii ale tetraedrului, daca si numai daca are loc relatia \( AB+CD=AC+BD=AD+BC \).

Demonstratie Daca exista sfera \( S \), fie \( A^{\prime} \), \( B^{\prime} \), \( C^{\prime} \) punctele de contact cu laturile bazei \( |BC| \), \( |CA| \), \( |AB| \) si \( A^{\prime\prime} \), \( B^{\prime\prime} \), \( C^{\prime\prime} \) punctele ei de contact cu muchiile laterale \( |DA| \), \( |DB| \), \( |DC| \). Se considera lungimile \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) ale tangentelor din varfurile \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) la sfera \( S \). Atunci, datorita proprietatii de congruenta a tangentelor dintr-un punct exterior, au loc egalitatile \( AB^{\prime}=AC^{\prime}=AA^{\prime\prime}=a \), \( BA^{\prime}=BC^{\prime}=BB^{\prime\prime}=b \), \( CA^{\prime}=CB^{\prime}=CC^{\prime\prime}=c \) si \( DA^{\prime\prime}=DB^{\prime\prime}=DC^{\prime\prime}=d \). Acum se observa egalitatile imediate \( AD+BC=AC+BD=AB+CD=a+b+c+d \).
Presupunem acum ca sunt indeplinite egalitatile din enunt. Se obtine ca \( \frac{AC+AB-BC}{2}=\frac{AD+AB-BD}{2} \) si \( \frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{BD+BC-CD}{2} \). Prima relatie arata ca cercul inscris in triunghiul \( ABC \) are punctul de contact cu \( AB \) coincident cu punctul de contact cu \( AB \) al cercului inscris in triunghiul \( ABD \) (se folosesc proprietatile cercului inscris in triunghi). Deci exista o sfera ce contine cele doua cercuri (inscrise in \( ABC \) si \( ABD \)). Exista deci punctele \( A^{\prime} \), \( B^{\prime} \), \( A^{\prime\prime} \), \( B^{\prime\prime} \), \( C^{\prime} \) in sfera care este tangenta segmentelor \( [BC] \), \( [AC] \), \( [AD] \), \( [BD] \), \( [AB] \). Se considera planul \( (BCD) \) si cercul de intersectie determinat de plan si sfera considerata. Relatia a doua dovedeste ca punctul de contact cu \( BC \) al cercului inscris in triunghiul \( ABC \) coincid.
Cum cercul de intersectie dintre planul \( BDC \) si sfera este tangent muchiilor tetraedrului in \( B^{\prime\prime} \) si \( A^{\prime} \), iar pe de alta parte prin \( B^{\prime\prime} \) si \( A^{\prime} \) trece cercul inscris in triunghiul \( BDC \), rezulta ca cercul de intersectie dintre planul \( (BDC) \) si sfera si cercul inscris in triunghiul \( BDC \) coincid. Deci sfera este tangenta si muchiei \( [CD] \) ceea ce demonstreaza teorema.

Tetraedrele cu proprietatea ca exista o sfera hexatangenta muchiilor se numesc tetraedre Crelle.

Alte proprietati ale tetraedrelor Crelle

\( i) \) Teorema(BRIANCHON)
Intr-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.
\( ii) \) Teorema
Intr-un tetraedru Crelle \( ABCD \), unde \( BC=a \), \( CA=b \), \( AB=c \), \( AD+BC=s \),\( p=\frac{a+b+c}{2} \) volumul \( V \) si raza \( r \) a sferei hexatangente satisfac egalitatea: \( 3Vr=2(s-p)(p-a)(p-b)(p-c) \).
\( iii) \) Teorema
Intr-un tetraedru Crelle \( ABCD \) exista un unghi \( k \) incat:
\( \widehat{AB}+\widehat{CD}=\widehat{AC}+\widehat{BD}=\widehat{AD}+\widehat{BC}=k \) unde \( \widehat{AB} \) reprezinta unghiul diedru dintre fetele \( ABC \) si \( ABD \) ale tetraedrului \( ABCD \).

Observatii
\( 1) \) Prima teorema a fost descoperita de August Crelle in 1821.
\( 2) \) Pentru Tetraedrele Crelle se foloseste si denumirea de "Tetraedre Carcasa"(de obicei in matematica ruseasca).
\( 3) \) In orice desfasurare plana a unui tetraedru Crelle, orice patrulater alcatuit din doua fete alaturate este circumscriptibil. Putem face o interpretare in plan folosind Teorema lui Pithot: Intr-un patrulater \( ABCD \) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
-bisectoarele unghiurilor sunt concurente.
-patrulaterul \( ABCD \) este circumscriptibil.
-are loc \( AB+CD=AD+BC \).
\( 4) \)Intr-un tetraedru \( ABCD \) este posibil sa existe o sfera \( S^{\prime} \) "exhexatangenta"(sa fie tangenta muchiilor \( |BC| \), \( |CA| \), \( |AB| \) si dreptelor \( AD \), \( BD \), \( CD \) in punctele \( X \), \( Y \), \( Z \) astfel incat \( D-A-X \), \( D-B-Y \), \( D-C-Z \)) daca si numai daca \( AD-BC=BD-AC=CD-AB \) (Se demonstreaza ca in prima teorema).

Bibliografie
\( 1) \)"Planul si spatiul euclidian"-Dan BRANZEI, Sebastian ANITA, Constantin COCEA, Bucuresti 1986.
\( 2) \)"Probleme practice de geometrie"-Liviu NICOLESCU, Vladimir BOSKOFF, Bucuresti 1990.

[Liviu Ornea]

Foarte frumos!
Dar care e intrebarea (teoretica)?
L.O.

[Claudiu Mindrila]

Poate acesta era un loc potrivit.

[baleanuAR]

S-a adus in discutie tipul acesta de tetraedre aici. Pentru ca nu s-a facut o prezentare a acestora (nefiind foarte cunoscute) am facut eu si nu am gasit alt loc unde sa o postez.