mateforum.ro

baleanuAR · Euclid Joined: 01 Mar 2009 Posts: 28 Location: Motru, Gorj

Tetraedre Crelle (tetraedre carcasa)

Teorema
Fiin dat un tetraedru $ABCD$ , exista o sfera tangenta celor sase muchii ale tetraedrului, daca si numai daca are loc relatia $AB+CD=AC+BD=AD+BC$ .

Demonstratie Daca exista sfera $S$ , fie $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $C^{\prime}$ punctele de contact cu laturile bazei $|BC|$ , $|CA|$ , $|AB|$ si $A^{\prime\prime}$ , $B^{\prime\prime}$ , $C^{\prime\prime}$ punctele ei de contact cu muchiile laterale $|DA|$ , $|DB|$ , $|DC|$ . Se considera lungimile $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ale tangentelor din varfurile $A$ , $B$ , $C$ , $D$ la sfera $S$ . Atunci, datorita proprietatii de congruenta a tangentelor dintr-un punct exterior, au loc egalitatile $AB^{\prime}=AC^{\prime}=AA^{\prime\prime}=a$ , $BA^{\prime}=BC^{\prime}=BB^{\prime\prime}=b$ , $CA^{\prime}=CB^{\prime}=CC^{\prime\prime}=c$ si $DA^{\prime\prime}=DB^{\prime\prime}=DC^{\prime\prime}=d$ . Acum se observa egalitatile imediate $AD+BC=AC+BD=AB+CD=a+b+c+d$ .
Presupunem acum ca sunt indeplinite egalitatile din enunt. Se obtine ca $\frac{AC+AB-BC}{2}=\frac{AD+AB-BD}{2}$ si $\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{BD+BC-CD}{2}$ . Prima relatie arata ca cercul inscris in triunghiul $ABC$ are punctul de contact cu $AB$ coincident cu punctul de contact cu $AB$ al cercului inscris in triunghiul $ABD$ (se folosesc proprietatile cercului inscris in triunghi). Deci exista o sfera ce contine cele doua cercuri (inscrise in $ABC$ si $ABD$ ). Exista deci punctele $A^{\prime}$ , $B^{\prime}$ , $A^{\prime\prime}$ , $B^{\prime\prime}$ , $C^{\prime}$ in sfera care este tangenta segmentelor $[BC]$ , $[AC]$ , $[AD]$ , $[BD]$ , $[AB]$ . Se considera planul $(BCD)$ si cercul de intersectie determinat de plan si sfera considerata. Relatia a doua dovedeste ca punctul de contact cu $BC$ al cercului inscris in triunghiul $ABC$ coincid.
Cum cercul de intersectie dintre planul $BDC$ si sfera este tangent muchiilor tetraedrului in $B^{\prime\prime}$ si $A^{\prime}$ , iar pe de alta parte prin $B^{\prime\prime}$ si $A^{\prime}$ trece cercul inscris in triunghiul $BDC$ , rezulta ca cercul de intersectie dintre planul $(BDC)$ si sfera si cercul inscris in triunghiul $BDC$ coincid. Deci sfera este tangenta si muchiei $[CD]$ ceea ce demonstreaza teorema.

Tetraedrele cu proprietatea ca exista o sfera hexatangenta muchiilor se numesc tetraedre Crelle.

Alte proprietati ale tetraedrelor Crelle

$i)$ Teorema(BRIANCHON)
Intr-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.
$ii)$ Teorema
Intr-un tetraedru Crelle $ABCD$ , unde $BC=a$ , $CA=b$ , $AB=c$ , $AD+BC=s$ , $p=\frac{a+b+c}{2}$ volumul $V$ si raza $r$ a sferei hexatangente satisfac egalitatea: $3Vr=2(s-p)(p-a)(p-b)(p-c)$ .
$iii)$ Teorema
Intr-un tetraedru Crelle $ABCD$ exista un unghi $k$ incat:
$\widehat{AB}+\widehat{CD}=\widehat{AC}+\widehat{BD}=\widehat{AD}+\widehat{BC}=k$ unde $\widehat{AB}$ reprezinta unghiul diedru dintre fetele $ABC$ si $ABD$ ale tetraedrului $ABCD$ .

Observatii
$1)$ Prima teorema a fost descoperita de August Crelle in 1821.
$2)$ Pentru Tetraedrele Crelle se foloseste si denumirea de "Tetraedre Carcasa"(de obicei in matematica ruseasca).
$3)$ In orice desfasurare plana a unui tetraedru Crelle, orice patrulater alcatuit din doua fete alaturate este circumscriptibil. Putem face o interpretare in plan folosind Teorema lui Pithot: Intr-un patrulater $ABCD$ urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
-bisectoarele unghiurilor sunt concurente.
-patrulaterul $ABCD$ este circumscriptibil.
-are loc $AB+CD=AD+BC$ .
$4)$ Intr-un tetraedru $ABCD$ este posibil sa existe o sfera $S^{\prime}$ "exhexatangenta"(sa fie tangenta muchiilor $|BC|$ , $|CA|$ , $|AB|$ si dreptelor $AD$ , $BD$ , $CD$ in punctele $X$ , $Y$ , $Z$ astfel incat $D-A-X$ , $D-B-Y$ , $D-C-Z$ ) daca si numai daca $AD-BC=BD-AC=CD-AB$ (Se demonstreaza ca in prima teorema).

Bibliografie
$1)$ "Planul si spatiul euclidian"-Dan BRANZEI, Sebastian ANITA, Constantin COCEA, Bucuresti 1986.
$2)$ "Probleme practice de geometrie"-Liviu NICOLESCU, Vladimir BOSKOFF, Bucuresti 1990.
_________________
Smile

Liviu Ornea · - Joined: 30 Sep 2007 Posts: 123

Foarte frumos!
Dar care e intrebarea (teoretica)?
L.O.

Claudiu Mindrila · Fermat Joined: 01 Oct 2007 Posts: 517 Location: Targoviste

Poate acesta era un loc potrivit.
_________________
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste

baleanuAR · Euclid Joined: 01 Mar 2009 Posts: 28 Location: Motru, Gorj

S-a adus in discutie tipul acesta de tetraedre aici. Pentru ca nu s-a facut o prezentare a acestora (nefiind foarte cunoscute) am facut eu si nu am gasit alt loc unde sa o postez.
_________________
Smile

	mateforum.ro Forum Index -> Clasa a VIII-a -> Intrebari teoretice	All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1