Puncte conciclice

[Andi Brojbeanu]

Se considera triunghiul \( ABC \) si fie \( A_1, B_1, C_1 \) punctele de contact ale cercului inscris triunghiului \( ABC \) cu laturile \( BC, CA \) respectiv \( AB \). Bisectoarea unghiului \( \widehat{BAC} \) intersecteaza cercul circumscris triunghiului \( ABC \) in \( A_2 \), iar dreapta \( A_1A_2 \) intersecteaza acelasi cerc in \( A_3 \). Demonstrati ca punctele \( A, A_3, B_1, C_1 \) sunt conciclice.

Manuela Prajea, Lista scurta 2009

[Virgil Nicula]

Se considera \( \triangle ABC \) si fie \( D \) , \( E \) , \( F \) punctele de contact ale cercului inscris in \( \triangle ABC \) cu \( BC \) , \( CA \) , \( AB \)

respectiv. Bisectoarea unghiului \( \angle BAC \) intersecteaza cercul circumscris al \( \triangle ABC \) in \( S \), iar \( SD \) taie din nou

acelasi cerc in \( T \). Demonstrati ca patrulaterul \( ATFE \) este inscriptibil (Manuela Prajea, Lista scurta 2009).

Frumoasa problema, insa depaseste cu mult nivelul clasei a VII -a.
Probabil acesta a fost motivul pentru care a ramas doar pe lista scurta.
Insa ar fi mers foarte bine in finala la clasa a IX - a ! Asteptam solutii ...