Petre Sergescu 2009, Problema 2

[Laurian Filip]

Fie \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) o functie continua, iar \( \lim_{x\to -\infty}f(x)=k \), \( \lim_{x\to\infty}f(x)=l \), \( k,l \in\mathbb{R} \).
a) Sa se arate ca functia f este marginita pe \( \mathbb{R} \).
b) Sa se arate ca \( \forall n\in \mathbb{N}^* \), \( \exist c_n \in \mathbb{R} \) astfel incat \( f(c_n)=c_n^{2n+1}+c_n^n+1 \).
c) Sa se arate ca sirul \( (f(c_n))_{n\geq 1} \) contine un subsir convergent. (Sirul \( (c_n)_{n \geq 1} \) este cel obtinut la punctul precedent.)

[Beniamin Bogosel]

Se foloseste definitia limitelor la infinit. Astfel exista \( \delta,\mu >0 \) astfel incat \( \forall x < \delta \Rightarrow |f(x)-k|<1, \forall x > \mu \Rightarrow |f(x)-l|<1 \). Astfel \( f \) este marginita pe \( (-\infty,\delta) \cup (\mu,\infty) \). Intervalul care a mai ramas este \( [\delta,\mu] \) care este compact si deoarece functia \( f \) este continua, ea este marginita pe acest interval. Prin urmare \( f \) este marginita pe \( \mathbb{R} \).

b) Pentru \( n \in \mathbb{N}^* \) definim \( g(x)=f(x)-x^{2n+1}-x^n-1 \) care este continua si are limitele \( \infty \) la \( -\infty \), respectiv \( -\infty \) la \( \infty \). Prin urmare \( g \) se anuleaza si gasim astfel un \( c_n \) cu proprietatea ceruta.

c) Deoarece \( f \) este marginita, rezulta ca sirul \( (f(c_n)) \) este marginit. Din lema lui Cesaro, acesta are un subsir convergent.