Suma modulelor a 20 de numere intregi distincte este 100. Determinati modulul sumei acestor numere.
Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998
O.VII.28
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Daca modulele a cel putin \( 3 \) numere sunt egale, atunci cel putin \( 2 \) sunt egale, contradictie. Deci:
1. toate modulele sunt diferite, atunci suma lor minima \( 0+1+2+...+19=190 \), FALS, deci cel putin doua module sunt egale.
2. - daca sunt doua module egale, suma minima este mai mare decat 100.
- daca sunt doua perechi de module egale, suma minima este mai mare decat 100.
...
- daca sunt \( 9 \) perechi de module egale, atunci suma minima e \( \ge 100 \Longrightarrow \) numerele sunt chiar cele minime, adica \( 0,-1,1,-2,2,...,9,-9,\mid 10\mid. \)
- obtinem modulul sumei numerelor 10.
1. toate modulele sunt diferite, atunci suma lor minima \( 0+1+2+...+19=190 \), FALS, deci cel putin doua module sunt egale.
2. - daca sunt doua module egale, suma minima este mai mare decat 100.
- daca sunt doua perechi de module egale, suma minima este mai mare decat 100.
...
- daca sunt \( 9 \) perechi de module egale, atunci suma minima e \( \ge 100 \Longrightarrow \) numerele sunt chiar cele minime, adica \( 0,-1,1,-2,2,...,9,-9,\mid 10\mid. \)
- obtinem modulul sumei numerelor 10.