Numarul tripletelor aflate pe o sfera

[Cezar Lupu]

Notam cu \( N(R) \) numarul tripletelor \( (p, q, r) \) unde \( p, q, r \) sunt numere intregi si \( p^2+q^2+r^2\leq R^2 \). Sa se demonstreze ca \( \lim_{R\to\infty}\frac{N(R)}{R^3}=\frac{4\pi}{3} \).


Gheorghe Siretchi, Gazeta Matematica, seria B 1990

[Theodor Munteanu]

Problema e echivalenta cu urmatoarea:

Sa se calculeze numarul punctelor laticiale dintr-o sfera S((0,0,0),R) cu \( R \in \mathbb{R}_+^* \).

Consideram sfera ca o infinitate de cercuri paralele cu cercul de baza al sferei si ne intereseaza numarul de puncte laticiale de pe cercurile inscrise in planele de ecuatie z=k, unde z e inaltimea \( k \in Z, -[R] \le k \le [R] \). Raza unui cerc de ecuatie z=i este \( R_i=\sqrt{R^2-i^2} \).
Acum calculam numarul de puncte laticiale dintr-un cerc de raza \( R_{i} \). Luam dreptele de ecuatie \( y = j,\ j = \overline {0,[R_i ]},\ R_ij=\sqrt {R_{i}^2 - j^2 }. \)
Deci avem \( [2\sqrt{R^2-j^2}] \) puncte laticiale pe o coarda de ecuatie y=j si avem \( 2\sum\limits_{j = 0}^{[R_i ]} {[2\sqrt {R_i^2 - j^2 } ]} \) in cerc.
Dar \( R_i=sqrt{R^2-i^2} \), deci numarul de puncte laticiale de pe cerc e \( 2\sum\limits_{j = 0}^{[sqrt{R^2-i^2}]} {[2\sqrt {R^2 -i^2 - j^2 } ]} \),
adica numarul punctelor laticeale de pe sfera este \( N(R)=2\sum\limits_{i = 0}^{[R]} {2\sum\limits_{j = 0}^{[\sqrt {R^2 - i^2 } ]} {[2\sqrt {R^2 - i^2 - j^2 } ]} } \).
De aici cred ca se face cu criteriul clestelui dar nu stiu cum sa o apuc.