Triunghiuri omologice si conice

[mihai miculita]

Fie \( (A)=A_1A_2A_3 \) si \( (B)=B_1B_2B_3 \) doua triunghiuri. Notam cu \( a_i \) dreapta suport a laturii opuse varfului \( A_i; \ i\in\{1.2.3} \) a triunghiului \( (A) \),
cu \( b_j \) dreapta suport a laturii opuse varfului \( B_j; \ j\in\{1.2.3} \) a triunghiului \( (B) \); iar cu \( \{C_{ij}\}=a_i\cap \b_j; \ i,j\in\{1,2,3\} \).
Urmatoarele 3 afirmatii referitoare la triunghiurile \( (A) \) si \( (B) \), sunt echivalente:
(i): Dreptele \( A_1B_1, \ A_2B_2 \) si \( A_3B_3 \) sunt concurente intr-un punct \( O \) (numit centru de omologie al triunghiurilor \( (A) \) si \( (B) \));
(ii): Punctele \( C_{11}, \ C_{22} \) si \( C_{33} \)(de intersectie ale laturilor omoloage) se gasesc pe o aceeasi dreapta o (numita axa de omologie a triunghiurilor \( (A) \) si \( (B) \));
(iii) (probabil mai putin cunoscuta): Punctele \( C_{12}, \ C_{21}, \ C_{13}, \ C_{31}, \ C_{23} \) si \( C_{32} \)(de intersectie ale laturilor neomoloage) se gasesc pe o aceeasi conica.

[maky]

voi demonstra prin aceeasi metoda cu care am demonstrat si alta problema, aici :
http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=338

intai, fac precizarea ca (i) si (ii) sunt echivalente din teorema lui desargues.
acum arat ca (ii) si (iii) sunt echivalente.
am ca
\( C_{22} \in C_{32}C_{12} \cap C_{23}C_{21} \).
\( C_{11} \in C_{12}C_{13} \cap C_{21}C_{31} \).
\( C_{33} \in C_{13}C_{23} \cap C_{31}C_{32} \).

din teorema lui pascal, rezulta chiar concluzia, si anume ca \( C_{11},C_{22},C_{33} \) coliniare daca si numai daca punctele \( C_{12},C_{21},C_{13},C_{31},C_{23},C_{32} \) sunt pe o conica.

edit : am introdus linkul la problema cealalta.