SCOALA CU CEAS - SENIORI - 2009

[Adriana Nistor]

PROBLEMA 1 Fie \( p \) si \( q \) doua numere intregi pozitive relativ prime. Pentru intregii \( m \) si \( n \), cu \( \min(m,n)\ge \max(p,q) \), consideram reteaua pe suprafata unui colac, realizata cu \( m \) cercuri echidistante "de-a lungul" si \( n \) cercuri echidistante "de-a latul" (laticea \( Z_m\times Z_n \) pe torul 2-dimensional). Celulelor acestei retele sunt asignate numere reale egale cu \( x \) sau \( y \) (fiecare cel putin odata). Reteaua este balansata daca suma numerelor din celulele oricarui "sub-patrat" \( p\times p \) este constanta si de asemenea, suma numerelor din celulele oricarui "sub-patrat" \( q\times q \) este constanta. Demonstrati ca o retea este balansata daca si numai daca \( x=y \).

PROBLEMA 2 Fie \( \tau \) un cerc de centru \( O \) si \( \delta \) o dreapta in planul lui \( \tau \) astfel incat \( \delta \cap \tau \) este multimea vida. Fie \( A \) piciorul perpendicularei din \( O \) pe \( \delta \) si fie \( M \) un punct (variabil) pe cercul \( \tau \), dar nu pe dreapta \( OA \). Notam cu \( \gamma \) cercul de diametru \( AM \), cu \( X \) punctul (celalalt decat M) de intersectie al cercurilor \( \gamma \) si \( \tau \) si cu \( Y \) punctul (celalalt decat \( A \)) de intersectie al cercului \( \gamma \) cu dreapta \( \delta \). Demonstrati ca dreapta \( XY \) trece printr-un punct fix.

PROBLEMA 3 Determinati numerele intregi pozitive \( n \) pentru care \( C^k_n \) divide \( C^{2k}_{2n} \).

PROBLEMA 4 Fie un triunghi \( ABC \) cu varfurile, precum si centrul \( O \) al cercului circumscris, puncte cu coordonate intregi (laticiale). Determinati minimul ariei triunghiului \( ABC \).

[DrAGos Calinescu]

Cea mai simpla problema este numarul 4.
Se aplica teorema lui Pick si tot ce ramane de demonstrat este ca aria triunghiului nu poate fi egala cu \( \frac{1}{2} \).

[Omer Cerrahoglu]

Problema 1

Presupunem prin absurd ca se folosesc doar 2 numere(x si y). Ele pot fi inlocuite cu 0, respectiv 1. Notam cu \( S_p \) suma din patratul \( p \times p \), iar cu \( S_q \) suma din patratul \( q \times q \). Fixam unul din puncte si mergem de-a lungul \( pq \) unitati. Din acel punct mergem de-a latul tot \( pq \) unitati si obtinem un patrat \( pq \times pq \). Suma numerelor din patrat este\( q^2S_p \) si in acelasi timp si \( p^2S_q \), deci \( q^2S_p=p^2S_q \), iar deoarece \( S_q\leq q^2 \) si \( (p,q)=1 \) rezulta ca \( S_q=q^2 \), deci in patrat avem numai 1, deci initial aveam doar y. Asadar in orice patrat \( q\times q \) avem scris doar y, fals. Deci patratul este completat cu cel putin 3 culori.

[Omer Cerrahoglu]

Problema 4

Printr-o translatie putem presupune ca O este originea sistemului cartezian. Notam coordonatele punctelor \( A \)(\( X_A, Y_A \)) si analog la \( B \) si \( C \). Din Pitagora \( X_A^2+Y_A^2=X_B^2+Y_B^2=X_C^2+Y_C^2 \)
De aici se obtine ca exista 2 puncte (sa zicem A si B) astfel incat \( X_A=X_B(mod 2 \) si \( Y_A=Y_B(mod 2) \). Atunci mijlocul segmentului AB este punct laticial si deci din t. lui Pick aria triunghiului este cel putin 1. De aici se gaseste exemplul cu aria 1 si problema este rezolvata.

[Laurentiu Tucaa]

Sau altfel la problema 4 ca \( A=\frac{|\delta|}{2} \) si dezvoltand determinantul delta avem ca este mai mare sau egal cu 2 in modul, de aici \( A\ge 1 \) si apoi construim un triunghi cu varfurile de coordonate laticiale si problema e terminata.