Functii si limita de sir

[Laurentiu Tucaa]

a) Sa se gaseasca o functie nenula si continua \( f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n})=0 \).
b) Sa se demonstreze ca pt orice functie continua \( f:[0,1] \rightarrow [0,\infty) \) sirul \( (x_n)_{n\ge 0} \),definit prin \( x_n=\sum_{k=0}^n f(\frac{k}{n}) \) are limita.

Cristinel Mortici, Concursul "Laurentiu Duican" Brasov

[Ciprian Oprisa]

a) \( f(x)=0 \).
b) Vom demonstra ca \( (x_n) \) are limita si, in plus, ca aceasta limita poate fi doar \( 0 \) sau \( \infty \).
Daca \( f(x)=0 \), ca la punctul a), evident \( x_n=0 \), si deci limita e \( 0 \).
Fie o functie \( f \), astfel incat \( f(x_0) = a > 0 \), pentru un punct \( x_0 \in (0,1) \) (daca ar fi nenula doar in capete, nu ar mai fi continua).
Atunci, \( \exists \epsilon, \delta > 0 \), astfel incat \( \forall x \in (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \), \( f(x)>\delta \Rightarrow x_n = \sum\limits_{k=0}^n f(\frac{k}{n})> \) \( \sum\limits_{k= [n(x_0-\epsilon)]+1}^{ [n(x_0 + \epsilon)]} f(\frac{k}{n}) \Rightarrow x_n > \delta \cdot ([n(x_0 + \epsilon)] - [n(x_0 - \epsilon)]) > \delta \cdot [2n\epsilon] \rightarrow \infty \).

[Laurentiu Tucaa]

Scuze, nu am fost eu atent cand am pus enuntul, la punctul a) se cerea o functie continua neidentic nula. Punctul b) eu l-am facut folosind integrale si am luat 7 pct pe problema asta