Gh. Titeica 2009, echipe IX-X, problema 2

[mumble]

Fiind dat triunghiul ascutitunghic \( ABC \), notam cu \( A\prime ,B\prime, C\prime \) picioarele inaltimilor din \( A,B,C. \) Notam cu \( r_9,R_9 \) razele cercurilor inscris, respectiv circumscris triunghiului \( A{\prime} B\prime C\prime . \)
(i) Sa se arate ca
\( r_9=\frac{1}{4R^2}\sum bc\sqrt{4R^2-a^2}-2R=2R\cos A\cos B\cos C, \)
unde \( a,b,c \) sunt lungimile laturilor triunghiului \( ABC \) iar \( R \) este raza cercului circumscris triunghiului \( ABC. \)

V. Cristescu

(ii) Aratati ca inegalitatea lui Euler scrisa in triunghiul \( A\prime B\prime C\prime, \) si anume \( R_9\geq 2r_9 \) este echivalenta cu
\( \cos A\cos B\cos C\leq\frac{1}{8}. \)

O. Mustafa, A. Dinca

[Marius Mainea]

In orice triunghi ABC avem: \( R_9=\frac{R}{2} \) si \( r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{B}{2} \)

[mumble]

Exact. Asta demonstreaza (ii) si parte din (i).
Ce ramane de aratat, si anume
\( \frac{1}{4R^2}\sum bc\sqrt{4R^2-a^2}-2R=2R\cos A\cos B\cos C \)
se bazeaza pe o identitate cunoscuta, deloc greu de demonstrat (dar imposibil de tinut minte... ):
\( \sum\cos A\sin B\sin C=1+\cos A\cos B\cos C. \)