Multimi compacte din R^n

[Beniamin Bogosel]

Fie \( K \) o submultime a lui \( \mathbb{R}^n \) astfel incat pentru orice functie continua \( f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) restrictia sa \( f_{| K} \) este marginita si isi atinge maximul. Aratati ca multimea \( K \) este compacta.

Admitere SNSB 2009

[Beniamin Bogosel]

Presupunem ca \( K \) este nemarginita. Atunci considerand functia norma pe \( \mathbb{R}^n \), aceasta este continua si nu isi atinge maximul in \( K \) ceea ce contrazice ipoteza. Prin urmare \( K \) este marginita.

Presupunem acum ca \( K \) nu este inchisa, adica exista \( (x_n)\subset K \) si \( x_n \to x_0 \notin K \). Pentru acest caz consideram functia \( f(x)=- || x-x_0||,\ \foral x \in \mathbb{R}^n \). Aceasta functie este continua, si restrictia sa la \( K \) trebuie sa isi atinga maximul. Deoarece \( f(x) < 0,\ \forall x \in K \) si \( ||x_n-x_0|| \to 0 \) rezulta ca supremumul functiei \( f \) pe \( K \) este 0 si acesta nu se atinge pentru ca \( x_0 \notin K \). Aceasta contrazice din nou ipoteza.

Prin urmare multimea \( K \) este marginita si inchisa, adica este compacta.