Fie \( ABCD \) un patrulater convex circumscris unui cerc si \( P,\ Q,\ R,\ S \) punctele de tangenta ale patrulaterului cu cercul, \( P\in (AB),\ Q\in (BC),\ R\in (CD),\ S\in (DA). \)
Sa se arate ca dreptele \( AC,\ BD,\ PR,\ QS \) sunt concurente.
Concurenta intr-un patrulater circumscriptibil
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Aratam ca AC , PR si QS sunt concurente.
Fie \( \{X\}=AC\cap QS \) si \( \{Y\}=AC\cap PR \)
Din teorema sinusurilor in triunghiurile ASX si CQX avem
\( \frac{AX}{\sin \angle S}=\frac{AS}{\sin \angle X} \) si \( \frac{CX}{\sin \angle Q}=\frac{CQ}{\sin \angle X} \) deci \( \frac{AX}{CX}=\frac{AS}{CQ} \) (1)
Analog din triunghiurile APY si CRY obtinem \( \frac{AY}{CY}=\frac{AP}{CR} \) (2)
Din (1) si (2) rezulta ca \( \frac{AX}{CX}=\frac{AY}{CY} \) de unde X=Y.
Analog se arata ca BD , PR si QS sunt concurente si apoi concluzia problemei.
Fie \( \{X\}=AC\cap QS \) si \( \{Y\}=AC\cap PR \)
Din teorema sinusurilor in triunghiurile ASX si CQX avem
\( \frac{AX}{\sin \angle S}=\frac{AS}{\sin \angle X} \) si \( \frac{CX}{\sin \angle Q}=\frac{CQ}{\sin \angle X} \) deci \( \frac{AX}{CX}=\frac{AS}{CQ} \) (1)
Analog din triunghiurile APY si CRY obtinem \( \frac{AY}{CY}=\frac{AP}{CR} \) (2)
Din (1) si (2) rezulta ca \( \frac{AX}{CX}=\frac{AY}{CY} \) de unde X=Y.
Analog se arata ca BD , PR si QS sunt concurente si apoi concluzia problemei.
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
patrulater circumscriptibil
Alte proprietati gasiti ale patrulaterelor circumscriptibile gasiti aici:
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf