Fie ABC un triunghi oarecare si M un punct pe BC. Atunci sa se demonstreze teorema lui Stewart:
\( AM^2\cdot BC=AB^2\cdot MC+AC^2\cdot MB-BC\cdot MB\cdot MC. \)
Teorema lui Stewart
Moderator: Beniamin Bogosel
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Din triunghiurile \( ABM \) si \( ABC \) rezulta:
\( AM^2=AB^2+BM^2-2AB \cdot BM \)cos\( B \)
\( AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC \)cos\( B \)
Inmultind prima relatie cu \( BC \), a doua cu \( BM \) si adunand relatiile obtinute, rezulta:
\( AM^2\cdot BC=AC^2\cdot BM+AB^2(BC-BM)+BM\cdot BC (BM-BC) \), adica tocmai relatia ceruta.
\( AM^2=AB^2+BM^2-2AB \cdot BM \)cos\( B \)
\( AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC \)cos\( B \)
Inmultind prima relatie cu \( BC \), a doua cu \( BM \) si adunand relatiile obtinute, rezulta:
\( AM^2\cdot BC=AC^2\cdot BM+AB^2(BC-BM)+BM\cdot BC (BM-BC) \), adica tocmai relatia ceruta.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Metoda 1. Notam \( D\in BC \) pentru care \( AD\perp BC \) .
Presupunem fara a restrange generaltatea ca \( m(\widehat{AMB})\le 90^{\circ} \) .
Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in triunghiurile \( ABM \) , \( ACM\ \ : \)
\( \left\|\begin{array}{c}
AB^2=AM^2+MB^2-2\cdot MB\cdot MD\\\\\\\\
AC^2=AM^2+MC^2+2\cdot MC\cdot MD\end{array}\right\|\ \begin{array}{c}
\odot & MC\\\\\\\\
\odot & MB\end{array}\ \bigoplus\Longrightarrow \)
\( AB^2\cdot MC+AC^2\cdot MB=AM^2\cdot (MB+MC)+MB\cdot MC\cdot (MB+MC)\ \Longrightarrow \)
\( \underline{\overline{\left\|\ AB^2\cdot MC+AC^2\cdot MB=AM^2\cdot (MB+MC)+MB\cdot MC\cdot BC\ \right\|}} \) .
Metoda 2 (inedita !). Notam cercul circumscris \( w \) al triunghiului \( ABC \) si \( \{A,N\}=AM\cap w\ , \)
\( AB=c\ ,\ AC=b\ ,\ MB=x\ ,\ MC=y\ ,\ NB=u\ ,\ NC=v\ . \)
Se stie sau se arata usor ca \( \frac {MA}{bc}=\frac {MN}{uv}=\frac {x}{cu}=\frac {y}{bv}\equiv\rho\ (*)\ . \) Aplicam teorema lui Ptolemeu :
\( bu+cv=a\cdot (AM+MN)\ . \) Inmultim aceasta relatie cu \( bc\rho \) si folosim relatiile \( \ (*)\ : \)
\( b^2\cdot cu\rho +c^2\cdot bv\rho =a\cdot bc\rho\cdot AM+a\cdot bv\rho\cdot cu\rho\ \Longleftrightarrow\ \underline {\overline{\left\|\ b^2\cdot x+c^2\cdot y=a\cdot MA^2+a\cdot x\cdot y\ \right\|}}\ . \)
Metoda 3 (inedita !). Vom folosi notatiile din metoda 2 la care adaugam \( \left\|\begin{array}{c}
U\in AM\ ,\ BU\perp AM\\\\\\\\
V\in AM\ ,\ CV\perp AM\end{array}\right\| \) .
Presupunem fara a restrange generalitatea a \( m(\widehat {AMB})\le 90^{\circ} \) , adica \( U\in [MA \) si \( M\in [AV] \) .
\( \left\|\begin{array}{c}
BU\perp AM\ \Longleftrightarrow\ BA^2-BM^2=UA^2-UM^2\ \Longleftrightarrow\ c^2-x^2=MA\cdot (UA-UM)\\\\\\\\
CV\perp AM\ \Longleftrightarrow\ CA^2-CM^2=VA^2-VM^2\ \Longleftrightarrow\ b^2-y^2=MA\cdot (VA+VM)\end{array}\right\|\ (**) \)
In concluzie, relatia lui Stewart \( c^2y+b^2x=a\cdot AM^2+axy \) este echivalenta cu relatia
\( c^2y+b^2x=(x+y)\left(AM^2+xy\right)\ \Longleftrightarrow\ x\left(b^2-y^2\right)+y\left(c^2-x^2\right)=(x+y)\cdot AM^2\stackrel{(**)}{\ \Longleftrightarrow\ } \)
\( x\cdot (VA+VM)+y\cdot (UA-UM)=(x+y)\cdot AM\ \Longleftrightarrow\ x\cdot (VA+VM-AM)=y\cdot (UM+AM-UA)\ \Longleftrightarrow \)
\( 2x\cdot VM=2y\cdot UM\ \Longleftrightarrow\ \frac {x}{UM}=\frac {y}{VM} \) , ceea ce este adevarat.
Comentariu. Ultimele doua metode sunt culese din lucrarile elevilor din clasa a IX - a pe care i-am avut de-a lungul timpului din care cele mai frumoase le-am pastrat. Obisnuiam sa le dau ca subiect o chestiune teoretica de rezolvat, cu intentia de a gasi si alta solutie decat cea din manual sau cea oferita de profesor. Astfel elevul realiza ca si problemele remarcabile au aparut tot ca niste probleme propuse, insa avand calitatea de a fi "scurtaturi" in rezolvarea unor probleme mult mai dificile. Voi reveni curand si cu metoda a patra care mie mi se pare cea mai ingenioasa la nivelul unui elev de clasa a IX - a (Mihai Esanu, de multa vreme la Paris !).
Presupunem fara a restrange generaltatea ca \( m(\widehat{AMB})\le 90^{\circ} \) .
Aplicam teorema lui Pitagora generalizata in triunghiurile \( ABM \) , \( ACM\ \ : \)
\( \left\|\begin{array}{c}
AB^2=AM^2+MB^2-2\cdot MB\cdot MD\\\\\\\\
AC^2=AM^2+MC^2+2\cdot MC\cdot MD\end{array}\right\|\ \begin{array}{c}
\odot & MC\\\\\\\\
\odot & MB\end{array}\ \bigoplus\Longrightarrow \)
\( AB^2\cdot MC+AC^2\cdot MB=AM^2\cdot (MB+MC)+MB\cdot MC\cdot (MB+MC)\ \Longrightarrow \)
\( \underline{\overline{\left\|\ AB^2\cdot MC+AC^2\cdot MB=AM^2\cdot (MB+MC)+MB\cdot MC\cdot BC\ \right\|}} \) .
Metoda 2 (inedita !). Notam cercul circumscris \( w \) al triunghiului \( ABC \) si \( \{A,N\}=AM\cap w\ , \)
\( AB=c\ ,\ AC=b\ ,\ MB=x\ ,\ MC=y\ ,\ NB=u\ ,\ NC=v\ . \)
Se stie sau se arata usor ca \( \frac {MA}{bc}=\frac {MN}{uv}=\frac {x}{cu}=\frac {y}{bv}\equiv\rho\ (*)\ . \) Aplicam teorema lui Ptolemeu :
\( bu+cv=a\cdot (AM+MN)\ . \) Inmultim aceasta relatie cu \( bc\rho \) si folosim relatiile \( \ (*)\ : \)
\( b^2\cdot cu\rho +c^2\cdot bv\rho =a\cdot bc\rho\cdot AM+a\cdot bv\rho\cdot cu\rho\ \Longleftrightarrow\ \underline {\overline{\left\|\ b^2\cdot x+c^2\cdot y=a\cdot MA^2+a\cdot x\cdot y\ \right\|}}\ . \)
Metoda 3 (inedita !). Vom folosi notatiile din metoda 2 la care adaugam \( \left\|\begin{array}{c}
U\in AM\ ,\ BU\perp AM\\\\\\\\
V\in AM\ ,\ CV\perp AM\end{array}\right\| \) .
Presupunem fara a restrange generalitatea a \( m(\widehat {AMB})\le 90^{\circ} \) , adica \( U\in [MA \) si \( M\in [AV] \) .
\( \left\|\begin{array}{c}
BU\perp AM\ \Longleftrightarrow\ BA^2-BM^2=UA^2-UM^2\ \Longleftrightarrow\ c^2-x^2=MA\cdot (UA-UM)\\\\\\\\
CV\perp AM\ \Longleftrightarrow\ CA^2-CM^2=VA^2-VM^2\ \Longleftrightarrow\ b^2-y^2=MA\cdot (VA+VM)\end{array}\right\|\ (**) \)
In concluzie, relatia lui Stewart \( c^2y+b^2x=a\cdot AM^2+axy \) este echivalenta cu relatia
\( c^2y+b^2x=(x+y)\left(AM^2+xy\right)\ \Longleftrightarrow\ x\left(b^2-y^2\right)+y\left(c^2-x^2\right)=(x+y)\cdot AM^2\stackrel{(**)}{\ \Longleftrightarrow\ } \)
\( x\cdot (VA+VM)+y\cdot (UA-UM)=(x+y)\cdot AM\ \Longleftrightarrow\ x\cdot (VA+VM-AM)=y\cdot (UM+AM-UA)\ \Longleftrightarrow \)
\( 2x\cdot VM=2y\cdot UM\ \Longleftrightarrow\ \frac {x}{UM}=\frac {y}{VM} \) , ceea ce este adevarat.
Comentariu. Ultimele doua metode sunt culese din lucrarile elevilor din clasa a IX - a pe care i-am avut de-a lungul timpului din care cele mai frumoase le-am pastrat. Obisnuiam sa le dau ca subiect o chestiune teoretica de rezolvat, cu intentia de a gasi si alta solutie decat cea din manual sau cea oferita de profesor. Astfel elevul realiza ca si problemele remarcabile au aparut tot ca niste probleme propuse, insa avand calitatea de a fi "scurtaturi" in rezolvarea unor probleme mult mai dificile. Voi reveni curand si cu metoda a patra care mie mi se pare cea mai ingenioasa la nivelul unui elev de clasa a IX - a (Mihai Esanu, de multa vreme la Paris !).
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Metoda 4. Notam \( \left\|\begin{array}{c}
X\in AB\ ,\ MX\perp AB\\\\\\\\
Y\in AC\ ,\ MY\perp AC\end{array}\right\| \) si \( MB=x \) , \( MC=y \) , unde \( x+y=a \) . Patrulaterul \( AXMY \) este inscris in cercul de diametru \( [AM] \) . Se observa ca \( XY=AM\cdot \sin A \) , \( \left\|\begin{array}{c}
MX=x\cdot\sin B\\\\\\\\
MY=y\cdot\sin C\end{array}\right\| \) si \( \left\|\begin{array}{c}
AX=c-x\cdot\cos B\\\\\\\\
AY=b-y\cdot\cos C\end{array}\right\| \) , indiferent daca \( B>90^{\circ} \) sau \( C>90^{\circ} \) (dovediti !). Aplicam teorema lui Ptolemeu patrulaterului inscriptibil \( AXMY\ :\ \ MY\cdot AX+MX\cdot AY=AM\cdot XY \) \( \Longrightarrow \) \( y\cdot\sin C(c-x\cdot\cos B)+x\cdot \sin B(b-y\cdot \cos C)=AM^2\sin A \) \( \Longrightarrow \) \( cy\sin C+bx\sin B=xy(\sin B\cos C+\sin C\cos B)+AM^2\sin A \) \( \Longrightarrow \) \( cy\sin C+bx\sin B=\sin A\left(AM^2+xy\right)\ (*) \) deoarece \( \sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\sin C\cos B \) . Deoarece \( \frac {\sin A}{a}=\frac {\sin B}{b}=\frac {\sin C}{c} \) obtinem \( (*)\ \Longleftrightarrow\ b^2x+c^2y=a\cdot AM^2+axy \) .
Observatie. Dupa parerea mea, enuntul complet al teoremei lui Stewart ar fi urmatorul :
masura algebrica a perechii ordonate \( (X,Y) \) pe dreapta \( d \) "insufletita" cu un sistem de coordonate, adica \( X(x)\ ,\ x\in\mathbb R \) si \( \overline {XY}=y-x \) .
X\in AB\ ,\ MX\perp AB\\\\\\\\
Y\in AC\ ,\ MY\perp AC\end{array}\right\| \) si \( MB=x \) , \( MC=y \) , unde \( x+y=a \) . Patrulaterul \( AXMY \) este inscris in cercul de diametru \( [AM] \) . Se observa ca \( XY=AM\cdot \sin A \) , \( \left\|\begin{array}{c}
MX=x\cdot\sin B\\\\\\\\
MY=y\cdot\sin C\end{array}\right\| \) si \( \left\|\begin{array}{c}
AX=c-x\cdot\cos B\\\\\\\\
AY=b-y\cdot\cos C\end{array}\right\| \) , indiferent daca \( B>90^{\circ} \) sau \( C>90^{\circ} \) (dovediti !). Aplicam teorema lui Ptolemeu patrulaterului inscriptibil \( AXMY\ :\ \ MY\cdot AX+MX\cdot AY=AM\cdot XY \) \( \Longrightarrow \) \( y\cdot\sin C(c-x\cdot\cos B)+x\cdot \sin B(b-y\cdot \cos C)=AM^2\sin A \) \( \Longrightarrow \) \( cy\sin C+bx\sin B=xy(\sin B\cos C+\sin C\cos B)+AM^2\sin A \) \( \Longrightarrow \) \( cy\sin C+bx\sin B=\sin A\left(AM^2+xy\right)\ (*) \) deoarece \( \sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\sin C\cos B \) . Deoarece \( \frac {\sin A}{a}=\frac {\sin B}{b}=\frac {\sin C}{c} \) obtinem \( (*)\ \Longleftrightarrow\ b^2x+c^2y=a\cdot AM^2+axy \) .
Observatie. Dupa parerea mea, enuntul complet al teoremei lui Stewart ar fi urmatorul :
Voi reveni curand cu demonstratia. Reamintesc ca pentru orice doua puncte \( X \) , \( Y \) care apartin unei drepte date \( d \) , notatia \( \overline {XY} \) inseamnaFie o dreapta \( d \) , un punct \( P \) si trei puncte distincte \( \{A,B.C\}\subset d \) . Atunci
exista relatia : \( \overline {\underline {\left\|\ PA^2\cdot\overline {BC}+PB^2\cdot\overline {CA}+PC^2\cdot\overline {AB}+\overline {BC}\cdot\overline {CA}\cdot\overline {AB}=0\ \right\|}} \) .
masura algebrica a perechii ordonate \( (X,Y) \) pe dreapta \( d \) "insufletita" cu un sistem de coordonate, adica \( X(x)\ ,\ x\in\mathbb R \) si \( \overline {XY}=y-x \) .