Inegalitate conditionata atipica, OIM type

[pohoatza]

Fie \( a_{1}, a_{2}, ... ,a_{10} \) numere reale pozitive astfel incat \( a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}=1 \). Sa se arate ca
\( \sqrt{a_{1}a_{2}}+\sqrt{a_{2}a_{3}}+\ldots+\sqrt{a_{9}a_{10}} \leq \cos{\frac{\pi}{11}}. \)

[Filip Chindea]

Suficiente solutii pe ML, chiar de prin 2004:

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=4362
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=112911#112911.

Intr-adevar e originala, si mult mai provocatoare in forma "gasiti maximul \( \sqrt{a_1a_2} + ... \)". Se pare ca sursa e Iasi '98 (nationala, locala? ca nu reiese nimic din ce se spune pe-acolo). Ideea mea a fost cu functia de gradul II, si pana la urma e suficient sa aratam ca, daca

\( t_0 = t \)
\( t_{k+1} = t - \frac{1}{4t_k} \), \( \forall k \in \mathbb{N} \),

atunci \( t_{n-2} = 0 \), pentru \( t = \cos \frac{\pi}{n} \).

Consideram polinoamele
\( P_n = \prod_{k=1}^{n-1} \left( t - \cos \frac{k\pi}{n} \right) \in \mathbb{R}[t] \), \( n \ge 1 \),
prin conv. \( P_1 \equiv 1 \), si problema ar fi solutionata daca am reusi sa aratam \( t_{k} = \frac{P_{k+2}}{P_{k+1}} \). Inductiv, aceasta se reduce la
\( P_{n+2} = t \cdot P_{n+1} - \frac{P_n}{4} \).
De aici, poate gasesc o continuare cei mai specializati in identitati de-astea, cel putin personal nu vad nimic

[Filip Chindea]

Se pare ca identitatea este corecta, astfel incat ceea ce am scris mai sus se adauga la setul de solutii cunoscute (si rezolvarea se face identic in cazul general, pentru \( n \) variabile):
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=174989.