Inegalitate cu lungimile bisectoarelor interioare.

[Virgil Nicula]

Notam lungimile \( l_a \) , \( l_b \) , \( l_c \) ale bisectoarelor interioare din \( \triangle ABC \) . Sa se arate ca \( \frac {l_a+l_b+l_c}{a+b+c}\le\frac {\sqrt 3}{2} \) .

[Marius Mainea]

\( LHS=\frac{\sum \frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}}{2p}=\frac{\sum \frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}}{2p}\le\frac{\sum \sqrt {p(p-a)}}{2p}\le\frac{\sqrt{(p+p+p)[((p-a)+p-a)+(p-a)]}}{2p}=RHS \)