Maxim cu numere complexe

[opincariumihai]

Daca \( x,y,z \in C \) sunt de modul 1 si \( x+y+z=0 \), atunci \( |a-x|+|a-y|+|a-z| \leq 4 \) pentru orice \( a \in C \) cu \( |a|\leq 1 \).

[Marius Mainea]

Fie A(\( z_1 \))B(\( z_2 \))C(\( z_3 \)) triunghiul echilateral inscris in cercul de centru O(0) si raza 1 si \( M(a) \) apartinand interiorul cercului.

Inegalitatea ceruta devine \( MA+MB+MC\le 4 \).

Daca M se afla in sectorul circular AOB (sa zicem), atunci \( MA+MB\le 2 \) si aplicand teorema lui Pompeiu (\( MC\le MA+MB \)) obtinem concluzia.

[Virgil Nicula]

\( \left\{x,a,b,c\right\}\subset \mathbb C \) pentru care \( |x|\le\ |a|=|b|=|c|=1 \) si \( a+b+c=0 \) \( \Longrightarrow \) \( |x-a|+|x-b|+|x-c| \le 4 \).

Demonstratie. Fie triunghiul \( ABC \) inscris in cercul \( w=C(O,1) \), unde \( A(a) \), \( B(b) \), \( C(c) \) si punctul \( M(x) \) care apartine discului \( D(O,1) \).

Deoarece \( a+b+c=0 \), rezulta ca centrul de greutate \( G\left(\frac {a+b+c}{3}\right) \) coincide cu \( O \), adica triunghiul \( ABC \) este echilateral. Presupunem fara a restrange generalitatea ca punctul \( M \) apartine sectorului de cerc definit de unghiul \( \angle BOC \) in cercul \( w \). Fie diametrul \( [AD] \) in cercul \( w \).

\( \odot\ \ M\in [OBDC]=[OBC]\cup [DBC]\ \Longrightarrow\ \left\|\begin{array}{ccc}
M\in [OBC] & \Longrightarrow & MB+MC\le OB+OC=2\\\\
M\in [DBC] & \Longrightarrow & MB+MC\le DB+DC=2\end{array}\right\|\ \Longrightarrow\ MB+MC\le 2. \)

\( \odot\ \ M\not\in [OBDC]\ \wedge\ \{B,N\}=BM\cap w\ \Longrightarrow\ MB+MC\le NB+NC\ \stackrel{(*)}{\le}\ DB+DC=2\ \Longrightarrow\ MB+MC\le 2. \)

Insa \( MA\le 2 \). In concluzie, \( MA+MB+MC\ \le\ 4 \).

Am folosit in \( (*) \) faptul cunoscut (sau usor de dovedit !) ca pozitia punctului \( N \) (pe arcul mic definit de coarda \( BC \)) pentru care \( NB+NC \) este maxim se realizeaza atunci cand \( NB=NC \), adica \( N\equiv D \).

Observatie. Problema propusa este echivalenta (printr-o rotatie in jurul lui \( O \)) cu urmatoarea problema cunoscuta :

Fie \( x\in\mathbb C \) pentru care \( |x|\le 1 \) si o radacina primitiva \( w \) de ordinul trei a unitatii. Atunci \( |x-1|+|x-w|+\left|x-w^2\right|\le 4. \)