Functie care are un punct fix

[mihai miculita]

\( \mbox{Fie } A \mbox{ o multime avand un numar impar de elemente. Sa se arate ca orice functie } f:A\longrightarrow A,\\
\mbox{avand proprietatea } f\circ f=1_A \mbox{ are un punct fix } x_0\in A\ (\mbox{adica }(\exists)x_0\in A \mbox{ a.i. } f(x_0)=x_0). \)

[Marius Mainea]

Presupunand ca nu avem puncte fixe atunci, f fiind injectiva, putem indexa elementele lui A astfel incat

\( A=\bigcup_{i=1}^n\{x_i,f(x_i)\} \)

contradictie cu imparitatea cardinalului lui A.