Fie \( K\subset L \) o extindere de corpuri. Daca multimea extinderilor intermediare este total ordonata (cu incluziunea), atunci extinderea este simpla.
Asa sa fie oare?
Extinderi intermediare total ordonate
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Orice extindere Galois infinita cu grup a carui latice de subgrupuri inchise e total ordonata e un contraexemplu.
Daca \( F \) e un corp finit, atunci grupul lui Galois absolut (grupul Galois al inchiderii algebrice \( \overline{F} \) peste \( F \), adica) e completarea lui \( \mathbb Z \) in topologia definita de toate subgrupurile netriviale: cea mai slaba topologie in care toate subgrupurile netriviale sunt deschise. El se poate descrie si ca produsul direct al grupurilor aditive \( \mathbb{Z}_p \) de intregi \( p \)-adici pentru toate numerele prime \( p \). Asta inseamna ca exista o extensie \( K/F \) cu grup Galois \( \mathbb{Z}_p \) (pentru un prim fixat \( p \)). Cum \( \mathbb{Z}_p \) are proprietatea mentionata mai sus (orice subgrup inchis e ideal in \( \mathbb{Z}_p \) privit ca inel, si idealele sunt exact puterile unicului ideal prim nenul), am terminat.
Afirmatia e adevarata in schimb daca extensia e finita. Mai general, o extensie finita de corpuri e simpla daca si numai daca are numar finit de subextensii. Implicatia care ne intereseaza aici e si cea usoara, intamplator
.
Daca \( F \) e un corp finit, atunci grupul lui Galois absolut (grupul Galois al inchiderii algebrice \( \overline{F} \) peste \( F \), adica) e completarea lui \( \mathbb Z \) in topologia definita de toate subgrupurile netriviale: cea mai slaba topologie in care toate subgrupurile netriviale sunt deschise. El se poate descrie si ca produsul direct al grupurilor aditive \( \mathbb{Z}_p \) de intregi \( p \)-adici pentru toate numerele prime \( p \). Asta inseamna ca exista o extensie \( K/F \) cu grup Galois \( \mathbb{Z}_p \) (pentru un prim fixat \( p \)). Cum \( \mathbb{Z}_p \) are proprietatea mentionata mai sus (orice subgrup inchis e ideal in \( \mathbb{Z}_p \) privit ca inel, si idealele sunt exact puterile unicului ideal prim nenul), am terminat.
Afirmatia e adevarata in schimb daca extensia e finita. Mai general, o extensie finita de corpuri e simpla daca si numai daca are numar finit de subextensii. Implicatia care ne intereseaza aici e si cea usoara, intamplator
.