Sa se determine fuctiile continue \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) cu proprietatea ca:
\( f(x)f(y)=f(sqrt{x^2+y^2})(\forall ) x,y\in \mathbb{R} \)
Functie continua
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
andy crisan
- Pitagora
- Posts: 56
- Joined: Sun Dec 28, 2008 5:50 pm
- Location: Pitesti
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Avem prima data pt \( x=y=0 \), \( f(0)=f(0)^2 \), adica \( f(0)=0\ sau\ f(0)=1 \). In primul caz se obtine \( f(x)=0,\ \forall x \ge 0 \) iar pt \( x<0,\ f(x)^2=f(-\sqrt{2}x)=0=>f(x)=0,\ \forall x\in\mathbb{R}. \)
Acum vine cazul mai greu cand \( f(0)=1 \); functia este para deoarece \( f(-x)f(0)=f(\sqrt{{-x}^2})=f(\sqrt{x^2})=f(x)f(0) \), adica este deajuns sa calculam functia pe \( (0,\infty) \). Se ia functia ajutatoare \( g(x)=f(\sqrt{x}) \) si avem \( g(x^2+y^2)=g(x^2)g(y^2)<=>g(x+y)=g(x)g(y) \). De aici folosim Cauchy.
Acum vine cazul mai greu cand \( f(0)=1 \); functia este para deoarece \( f(-x)f(0)=f(\sqrt{{-x}^2})=f(\sqrt{x^2})=f(x)f(0) \), adica este deajuns sa calculam functia pe \( (0,\infty) \). Se ia functia ajutatoare \( g(x)=f(\sqrt{x}) \) si avem \( g(x^2+y^2)=g(x^2)g(y^2)<=>g(x+y)=g(x)g(y) \). De aici folosim Cauchy.